浅谈矩阵求逆的几种方法11

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1、浅谈矩阵求逆的几种方法庄战友（内蒙古通辽实验中学，通辽028000）摘要：矩阵求逆是高等代数中很重要的内容之一，本文介绍矩阵求逆的几种方法。Abstract:MatrixinversionisanimportantcontentsinAdvancedAlgebra.Inthispaper,IwillintroducesomemethodsofMatrixinversion.关键词：逆矩阵；初等变换；伴随矩阵；级数；特征多项式51定义法定义：设A为n阶矩阵，如果存n在阶矩阵B使得AB=BA=I。则

2、称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵。例1求矩阵A=的逆矩阵解：因为=0，所以A-1存在。设A-1=，由定义知A-1A=I所以=由矩阵乘法得由矩阵相等可解得故A-1=2公式法定理1n阶矩阵可逆的充要条件是≠0，而且当n(≥2)阶矩阵A为可逆矩阵时，A-1=A*，其中A*为矩阵A的伴随矩阵。例2设A=,若==a1a4-a2a3≠0,则存在A-1，且A-1=用公式法求逆，当阶数较高时，计算量很大，所以该方法主要用于理论推导。3初等变换法设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，然后对此矩阵施以初等行变换,若把子块

3、A变为I,则子块I将变为A-1。即5同样也可以作2n×n矩阵，然后对此矩阵只施以初等列变换，即例3已知A=，求A解：作3×6矩阵=故A=利用初等变换免去计算，所以较高阶矩阵求逆常用此法。4Gauss-Jordan（高斯---约当）法由定义A-1A=I，设Y=AX（Y，X均为n维向量），则X=A-1Y，若将Y=AX改写成X=BY，则A-1=B。具体方法如下：写出Y=AX的矩阵形式=由矩阵乘法写成方程形式经消元后将上式转化为如下形式即X=BY所以A=B5广义的行列初等变换法此方法可将阶数较高的矩阵化

4、为阶数较低的矩阵再求其逆，使计算简化。例4设r+s阶矩阵A=，其中B，C是r,s阶可逆矩阵则A=证明：（I）用广义的初等行变换=由此得证.（II）用广义的初等列变换法=5由此得证。6分块矩阵的求法定理[1]陈立新天津农学院学报第二卷第四期1995.122：设矩阵A是一个满秩矩阵，若A中存在r（1

5、A=因为A=根据上述方法五得U==由于[AA]U==所以L=故有A=LU=因为U==所以A=LU=57和化积法有的问题要判断方阵之和A+B的非奇异性并求其逆矩阵,此时可将A+B直接化为(A+B)C=I,由此有A+B非奇异,且(A+B)=C;或将矩阵之和A+B表示为若干已知的非奇异阵之积,并可得其逆矩阵例6证明若A=0,则I-A是非奇异的,并求(I-A)证明:(I-A)(I+A+A++A)=I(I-A)是非奇异的,且(I-A)=I+A+A++A例7设A为n阶矩阵，且满足，证明A是可逆矩阵，并求A。

6、证明：2A-3A+5I=02A-3A=-5I-A+A=IA（-A+I）=IA可逆，且8利用多项式法例8已知n阶可逆矩阵的特征多项式是f()==,求A。解：由A可逆可得A的特征多项式是f（）的常数项a0，并由哈密特---凯莱定理知f(A)=0,即aA++aA+aI=0,故A（-(A++aI)）=I,于是A=-（aA++aI）.当已知可逆的特征多项式时，利用以上方法很容易找到A。下面我们看一个具体例子。例9若A=，则A的特征多项式是f()=(-3+3-1)，于是就A=A-3A+3I即A=++=9矩阵

7、函数的级数展开法例10设矩阵B的特征根的绝对值小于1，且A=I+B，则A的逆矩阵存在，且A=I-B+B+B-B证明：因I与B可逆，令S=I-B+B-B++B，于是S是与A之积等于1+（-1）B所以SA（1+（-1）B）=I，由于可逆矩阵的逆存在唯一性，可知A=S。参考文献1殷宗山，河北工程技术高等专科学校学报，1995.1.22李桂荣，德州高等专科学校学报，2000.16.453龚爱玲，天津理工学院学报，1995.9.34陈立新，天津农学院学报，1996.12.45