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时间：2020-03-22
《浅谈矩阵求逆的几种方法11.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈矩阵求逆的几种方法庄战友(内蒙古通辽实验中学，通辽028000)摘要：矩阵求逆是高等代数屮很重要的内容2—，木文介绍矩阵求逆的几种方法。Abstract:MatrixinversionisanimportantcontentsinAdvancedAlgebra.Inthispaper,IwillintroducesomemethodsofMatrixinversion.几=1刃2=-4F=1<兀22=_52、得AB=BA=Io则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵。_223_1一4-3_例1求矩阵A=1-10的逆矩阵故宀1-5-3-121-1642公式法所以A“存在。设解：因为A=0,定理1n阶矩阵可逆的充要条件是3、A4、和,X2lA3IX13畑A33,由定义知A“A=I而且当n(N2)阶矩阵A为可逆矩阵时，A“=丄A*,lAl所以21-12-12“I兀2]“2X22兀32X3兀23心3例2设A=若5、a6、=a2a4其屮A*为矩阵A的伴随矩阵。1且A”由矩阵乘法得2斥］+比］+哉］绻+生2乜2舛2一丕2-心+2乞+冷-心+至2+不2_17、00兀+绻+九尽一丕3一知+绻+心用公式法求逆，当阶数较高时，计算量很大,所以该方法主要用于理论推导。3初等变换法001设n阶矩阵A,作nx2n矩阵［A,,然后对此矩阵施以初等行变换，若把子块A变为I”,则由矩阵相等可解得了块1“将变为A"。即［A,初池变次〉［/...A-同样也可以作2nxn矩阵[:],然示对此矩阵Ji=%內+爲2兀2+•••+%£『2=a2ix2+a22x2+-^a2nxn只施以初等列变换,初等列变换、J1kJ_A即13-1解：作3X6矩阵13-1例3已知A二初等行变换故A-1=-10-2A-1I儿=鑫內8、+鑫2兀2+・・・+%兀经消元后将上式转化为如下形式X=A內+如兀2+•••+%“£）‘2=b2lx2^b22x2^-^b2nxnV.儿=4內+乞2兀2+•••+"“£2-1100-24一91329292-31-9oo1o1oloo即X=BY所以A_,=B5广义的行列初等变换法此方法可将阶数校高的矩阵化为阶数校低的矩阵再求其逆，使计算简化。~BD例4设叶s阶矩阵A=,其中OC2923]_94丄99~3~32_59~9B,C是r,s阶可逆矩阵则A_,=利川初等变换免去计算9、A10、,所以较高阶矩阵证明：（I）用广义的初等行变换求逆常用11、此法。4Gauss-Jordan（高斯…约当）法由定义A_,A=I,Y=AX（Y,X均为n维向量）,则X=A“Y,若将Y=AX改写成X=BY,则A-'=Bo具体方法如下：写出Y=AX的矩阵形式[A/J=0-B'1C_,厂-}?2a\a2…a•Cl21Q22•••••••••••••••••••a”2…•由矩阵乘法写成方程形式由此得证.（TT）用广义的初等列变换法BD'IrDC『0c初等变换、0Is0B~}0ph_0C~{由此得证。6分块矩阵的求法C'1定理⑴2：设矩阵A是一个满秩矩阵，若A屮存在r(l12、式，贝113、一定可以分解成一个下三角形分块矩阵与一个上三角分块矩阵的乘积A=LU,并且A"=L“U"0~,u=A.人12MN.0其屮L=4123例5已知:A=-1，求A"-2-6解:因为二阶主了式将A分块为A=A.^21A14、2人22其屮A/A2IA15、2-1-2A22因为A〕］2-1根据上述方法五得蔦由于[A216、a22]U"*-1-3所以L=故有A=LU=0-10-1-1-322-1000078-5-61001⑴陈立新天津农学院学报第二卷第四期1995.1221-2001210-1-302311112003072700-5-51-617、0737000-1729T14734T0_1237772329A-1=L_1U~l=77712117772116.777所以7和化积法4734T11'771有的问题要判断方阵之和A+B的非奇异性并求其逆矩阵，此时可将A+B削妾化为(A+B)C=I,由此有A+B非奇异，且(A+B)T=C;或将矩阵之和A+B表示为若干已知的非奇异阵之积，并可得其逆矩阵例6证明若A«=0,则I-A是非奇异的，并求(T-A)-1证明:・・•(I・A)(I+A+A2+…+Akt)=1・•・(I・A)是非奇异的,且(I・A)t=I+A+A2+…+Az例7设18、A为n阶矩阵，且满足2A2-3A+5I=0,证明A是可逆矩阵，并求A"1。证明：V2A2-3A+5I=0,2,3…2A~-3A=-5T…—A~+—A=I5523/•A(・一A+—I)=1「•A可逆，且55A1=--A+-I558利用多项式法例8已知n阶可逆矩阵的
2、得AB=BA=Io则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵。_223_1一4-3_例1求矩阵A=1-10的逆矩阵故宀1-5-3-121-1642公式法所以A“存在。设解：因为A=0,定理1n阶矩阵可逆的充要条件是
3、A
4、和,X2lA3IX13畑A33,由定义知A“A=I而且当n(N2)阶矩阵A为可逆矩阵时，A“=丄A*,lAl所以21-12-12“I兀2]“2X22兀32X3兀23心3例2设A=若
5、a
6、=a2a4其屮A*为矩阵A的伴随矩阵。1且A”由矩阵乘法得2斥］+比］+哉］绻+生2乜2舛2一丕2-心+2乞+冷-心+至2+不2_1
7、00兀+绻+九尽一丕3一知+绻+心用公式法求逆，当阶数较高时，计算量很大,所以该方法主要用于理论推导。3初等变换法001设n阶矩阵A,作nx2n矩阵［A,,然后对此矩阵施以初等行变换，若把子块A变为I”,则由矩阵相等可解得了块1“将变为A"。即［A,初池变次〉［/...A-同样也可以作2nxn矩阵[:],然示对此矩阵Ji=%內+爲2兀2+•••+%£『2=a2ix2+a22x2+-^a2nxn只施以初等列变换,初等列变换、J1kJ_A即13-1解：作3X6矩阵13-1例3已知A二初等行变换故A-1=-10-2A-1I儿=鑫內
8、+鑫2兀2+・・・+%兀经消元后将上式转化为如下形式X=A內+如兀2+•••+%“£）‘2=b2lx2^b22x2^-^b2nxnV.儿=4內+乞2兀2+•••+"“£2-1100-24一91329292-31-9oo1o1oloo即X=BY所以A_,=B5广义的行列初等变换法此方法可将阶数校高的矩阵化为阶数校低的矩阵再求其逆，使计算简化。~BD例4设叶s阶矩阵A=,其中OC2923]_94丄99~3~32_59~9B,C是r,s阶可逆矩阵则A_,=利川初等变换免去计算
9、A
10、,所以较高阶矩阵证明：（I）用广义的初等行变换求逆常用
11、此法。4Gauss-Jordan（高斯…约当）法由定义A_,A=I,Y=AX（Y,X均为n维向量）,则X=A“Y,若将Y=AX改写成X=BY,则A-'=Bo具体方法如下：写出Y=AX的矩阵形式[A/J=0-B'1C_,厂-}?2a\a2…a•Cl21Q22•••••••••••••••••••a”2…•由矩阵乘法写成方程形式由此得证.（TT）用广义的初等列变换法BD'IrDC『0c初等变换、0Is0B~}0ph_0C~{由此得证。6分块矩阵的求法C'1定理⑴2：设矩阵A是一个满秩矩阵，若A屮存在r(l12、式，贝113、一定可以分解成一个下三角形分块矩阵与一个上三角分块矩阵的乘积A=LU,并且A"=L“U"0~,u=A.人12MN.0其屮L=4123例5已知:A=-1，求A"-2-6解:因为二阶主了式将A分块为A=A.^21A14、2人22其屮A/A2IA15、2-1-2A22因为A〕］2-1根据上述方法五得蔦由于[A216、a22]U"*-1-3所以L=故有A=LU=0-10-1-1-322-1000078-5-61001⑴陈立新天津农学院学报第二卷第四期1995.1221-2001210-1-302311112003072700-5-51-617、0737000-1729T14734T0_1237772329A-1=L_1U~l=77712117772116.777所以7和化积法4734T11'771有的问题要判断方阵之和A+B的非奇异性并求其逆矩阵，此时可将A+B削妾化为(A+B)C=I,由此有A+B非奇异，且(A+B)T=C;或将矩阵之和A+B表示为若干已知的非奇异阵之积，并可得其逆矩阵例6证明若A«=0,则I-A是非奇异的，并求(T-A)-1证明:・・•(I・A)(I+A+A2+…+Akt)=1・•・(I・A)是非奇异的,且(I・A)t=I+A+A2+…+Az例7设18、A为n阶矩阵，且满足2A2-3A+5I=0,证明A是可逆矩阵，并求A"1。证明：V2A2-3A+5I=0,2,3…2A~-3A=-5T…—A~+—A=I5523/•A(・一A+—I)=1「•A可逆，且55A1=--A+-I558利用多项式法例8已知n阶可逆矩阵的
12、式，贝1
13、一定可以分解成一个下三角形分块矩阵与一个上三角分块矩阵的乘积A=LU,并且A"=L“U"0~,u=A.人12MN.0其屮L=4123例5已知:A=-1，求A"-2-6解:因为二阶主了式将A分块为A=A.^21A
14、2人22其屮A/A2IA
15、2-1-2A22因为A〕］2-1根据上述方法五得蔦由于[A2
16、a22]U"*-1-3所以L=故有A=LU=0-10-1-1-322-1000078-5-61001⑴陈立新天津农学院学报第二卷第四期1995.1221-2001210-1-302311112003072700-5-51-6
17、0737000-1729T14734T0_1237772329A-1=L_1U~l=77712117772116.777所以7和化积法4734T11'771有的问题要判断方阵之和A+B的非奇异性并求其逆矩阵，此时可将A+B削妾化为(A+B)C=I,由此有A+B非奇异，且(A+B)T=C;或将矩阵之和A+B表示为若干已知的非奇异阵之积，并可得其逆矩阵例6证明若A«=0,则I-A是非奇异的，并求(T-A)-1证明:・・•(I・A)(I+A+A2+…+Akt)=1・•・(I・A)是非奇异的,且(I・A)t=I+A+A2+…+Az例7设
18、A为n阶矩阵，且满足2A2-3A+5I=0,证明A是可逆矩阵，并求A"1。证明：V2A2-3A+5I=0,2,3…2A~-3A=-5T…—A~+—A=I5523/•A(・一A+—I)=1「•A可逆，且55A1=--A+-I558利用多项式法例8已知n阶可逆矩阵的
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