平均曲率与小球的渐近体积

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1、平均曲率与小球的渐近体积DominiqueHulinMarcTroyanov这篇短文的目的是对于在一个给定点处的超曲面的平均曲率以及以此点为心的小球的体积证明一个渐近公式．例如，在三维Euclid空间。中考虑一个半径为R的球面．若P位于sR上，并且t>0足够小(例如，0

2、的平均曲率所代替．我们简单地回忆一下平均曲率是什么．令S是仇维Euclid空间中的一个(72类的超曲面，并假设已经选取了一个单位法向量场N：s—(局部地，这总是可能的)．“S上一条C曲线c()的法向加速(c()，Ⅳ(c(￡)))只依赖于它的切向量v(t)=Ct()”是一个基本的事实：事实上，0=爰(c)，Ⅳ(c(t)))=(c()，Ⅳ(c(￡)))+(c)，Ⅳ(c()))，因而(c()，N(4t)))=一(DvN)(其中记号DvN=d(Ⅳ(c())／))．在S的点P处的超曲面S的第二基本型是由IIpv，W)=一v，

3、DN)所定义的切空间s上的双线性型．上面的计算表明，II(c)，c，(t))是曲线的法向加速．不难验证II是一个对称的双线性型．此时超曲面在点P处的平均曲率H(p)定义为11n一1日(p)=nace(II)=∑II(％仇)，其中V⋯．，V一是切空间s的任一正交基．(注意，用一Ⅳ代替法向量场Ⅳ改变平均曲率的符号．)。中一个曲面的平均曲率和第二基本型是几何学中的经典话题(见f1，第5章])．现在让我们在中固定一个球()，其心P在上，半径为t>0．当t足够小时，超曲面把()分成两个连通分支B(t)和B()，约定指向B(t

4、)．我们希望把s在P点处的平均曲率和B(t)与B(t)的体积之比联系起来．很清楚，对于小的t值，B()的体积大约是整个球(t)体积的一半；事实上，我们有译自：TheAmer．Math．Monthly，Vo1．110(2003)，No．10，p．947—950，MeanCurvatureandAsymptoticVolumeofSmallBalls，DominiqueHulinandMarcTroyanov．Copyright⑥2003theMathematicalAssociationofAmerica．Repri

5、ntedwithpermission．Allrightsreserved．美国数学协会授予译文出版许可．．381．Vol(g~())：去t+o(tn+1)，其中表示”中单位球的体积．我们断言：这个体积的Taylor展开式中的T-'ti由Vol(㈤)=1n一去())+0(。)(1)给出．特别，平均曲率满足()一)]．㈦为了证明(1)，我们选取原点在P的一个直角坐标系，使得=(0⋯．，0，1)．因而局部地曲面S可被确定为：f(xl，．．．，Xn-1)其中，是一个光滑函数，满足f(o)=0，并对i=1，⋯，n一1有Of／

6、Ox(0)=0．这样人们容易验证在P=0处的第二基本型与，在这一点的Hesse行列式是一致的．这样，对于X=(Xl⋯．，Xn-1)∈一，我们有f(X)=~II(X，X)+o(LIxll。)．我们以柱体代替球来推导类似于(1)的估计式是方便的．即，我们令c(t)=x=(X，)∈R”一×Ⅱ：max(1lxl1，IXnI)t)．如果P>0足够小，那么．厂在{∈：l_lIp)上是有意义的，)我们再考虑柱体c(t)与．厂的上境图(epigraph)的交集+(t)：x=(X，)∈c(t)：X，())，其中0tP．我们有Vol(

7、C+(t))=言VOl(c())一／f(X)dX，其中B一()={∈一：IIxII现在注意，对于使得i≠J的i，J=1，⋯，礼一1有_0．叫而对于i=1，⋯，n一1有2一B⋯㈤IIxll一()．组合这3个恒等式，并因为f(X)=~II(X，X)+o(1lxll)以及H(p)=Trace(IIp)／(n一1)，我们得到Vol(C+㈤)=Vol(C(t))一l(n-1一)日州+。()．(3)我们还必须验证用球代替柱体后不影响Taylor展开式中的主要项，即，我们必须证明(vo(c+(一去vo(c()一(vo(B+(一V

8、o(B()至多为+。阶．事实上，我们得到一个更好的估计．对于任何C∈，令A。(￡)=x=(X，X)∈c()＼B(t)：Xct)；1)原文把此集合误为<∈碾：flp卜一一译注-382．Vol(A。())：V0l((￡))一V0l(B())．因为A一(￡)＼。(￡)被包含在高为2c。、其底面为具有外径t、内径约为t—c2t。／2的圆环的一个柱体中，所以它的体积具