星形平均曲率流的非坍塌性

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1、第38卷第4期应用数学学报Vo1．38No．42015年7月ACTAMATHEMATICAEAPPLICATAESINICAJuly2015星形平均曲率流的非坍塌性刘艳楠(北京工商大学数学系，北京100048)(E—mail：liuyn@th．btbu．edu．cn)苏梅臼E京工商大学数学系，北京100048)摘要本文主要研究了星形平均曲率流的非坍塌性质，证明星形初始曲面的平均曲率流保持非坍塌性质。具体地，我们证明了如果平均曲率流的初始曲面是星形的，且初始曲面上每一点都含有—个与某个正函数有关的球，则在光滑解存在的任意时刻内，这一性质是保持的．关

2、键词几何发展方程；平均曲率流；非坍塌性MR(2000)主题分类35K15，53A05中图分类O186．12，0175．261引言本文主要研究星形初始曲面平均曲率流的非坍塌性质．Andrews在f1]中，对嵌入平均凸超曲面定义了．非坍塌．利用这一定义，Andrews证明了如果平均凸平均曲率流的初始超曲面是非坍塌的，则这一性质在流的存在时间内是保持．对于任何平均曲率流的紧平均凸解是非坍塌的这一结果并不是新的，在2009年，Shen，Wang在『2]中就这一结果给出了证明．在2010年，White在f31中给出了相近的结果．上述两篇文献的证明相对复杂，

3、并涉及到了几何测度论的知识．Andrews通过对非坍塌的定义给出解析等价式，使得证明变得简化，非坍塌性质的保持通过抛物方程的极值原理得到．进一步地，Andrews等在【4]中研究了一类全非线性曲率流的非坍塌性质，并证明非坍塌性质在这类曲率流下是保持的．Andrews在『1]的注释里提出，对于星形超曲面也可以定义非坍塌并得到类似的结果，但是他并没有给出证明，本文将对这一情形给出完整的证明．本文2015年3月23日收到．国家自然科学基金(No．11201011)，北京市自然科学基金(No．1132002)，北京市属高等学校高层次人才引进与培养计划项目

4、(No．CIT&TCD201304029)资助项目．4期刘艳楠，苏梅：星形平均曲率流的非坍塌性633首先，我们给出超曲面关于某个正函数g(x)是5一非坍塌的定义．定义1．1设超曲面M在R“+中所界定的开区域为Q，则M被称为是关于正函数9()是一非坍塌的，如果对每个X∈M，存在半径为5／g(x)的开球BCQ且有X∈Q．在MXM上定义函数Z(x，)=llF)一E(v)Lt。+(F)一F)，))．由函数，我们可以重新刻画超曲面的一非坍塌性．命题1．2超曲面M是关于正函数g(x)是非坍塌的当且仅当对所有的X，Y∈有Z(x，Y)0．证命题的证明与【1】中的

5、命题2相同，为了文章的完整性我们写在这里．半径为／夕()的开球B含在Q里等价于M上没有点到p()=F(x)一的距离，J、于／g()，即0)一p()11。一()29()z()j对所有的，Y∈成立，这里为单位外法向量．由于在上，()>0，则由上面不等式可得结论．证毕．假设M是关于原点的星形超曲面，则(／i,)>0，其中是超曲面M的单位外法向量，(．，·)表示“中通常内积．方便起见，我们记s(x)：(F))．记S(x，t)=2tH+(L，)，则S(x，0)=()=S()．Smockzy在[5】中证明．s(，t)满足方程=AS(x，t)+lAIs(，￡)

6、，(1．1)其中日是超曲面关于外单位法向量的平均曲率，。是第二基本形式模的平方，本文将用h表示第二基本形式张量．由于对于星形初始曲面，S(x，0)=()>0，则对方程(1．1)应用极值原理可得在流的存在时间内S(x，t)>0．本文拟对星形曲面平均曲率流证明如下结果．定理1．3令Mn是紧闭超曲面，且Ft：=F(·，t)：MX[0，T)一叶是满足平均曲率流方程的一族光滑嵌入，且F(．，0)=Mo是星形曲面．如果Mo是关于函数S(x)是一非坍塌，则Mt是关于函数S(x，t)是一非坍塌．2定理1．3的证明定义函数Z：M×M×[0，T)一R如下：，)=II

7、F()Il州)一)，))634应用数学学报38卷由命题1．2，定理1．3的证明等价于证明函数Z(z，，)在平均曲率流的光滑解存在时间内是非负的．这一结论的证明主要通过计算Z(z，，t)的发展方程并利用极值原理得到．为了计算的方便，我们用表示s(x，)，并用角标，分别表示关于，的几何量．记d=fF(x，￡)一F(y，t)l，叫=，鳄=磬，则Z(z，，￡)可以写为z=譬+(叫，)．(2．1)下面我们要分别计算函数Z(z，，)的关于空间变量的一阶导数和二阶导数以及关于时IMO~-阶导数．引理2．1在，附近分别选取局部法坐标，则有OZ=d(，)+(，)；

8、(2．2)OZ=一dsx<叫，)+譬+d9呈(，伽)，(2_3)其中，表示梯度算子．证为得到式(2-2)，式(2．1)两边对i求协变导数