2020版高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和（第2课时）等差数列前n项和的性质学案

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1、第2课时　等差数列前n项和的性质学习目标　1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值．知识点一　等差数列{an}的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列性质2若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0)性质3{an}为等差数列⇒为等差数列思考　

2、若{an}是公差为d的等差数列，那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？答案　(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)＝3d＋3d＋3d＝9d，(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d.∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为9d的等差数列．知识点二　等差数列{an}的前n项和公式的函数特征1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：

3、Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．(2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n

4、取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．1．等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．(　×　)2．等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋bn.即{an}的公差为2A.(　√　)3．若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.(　√　)4．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}不是等差数列．(　√　)题型一　等差数列前n项和的性质的应用例1　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和

5、Tn，已知＝，求的值．解　(1)方法一　在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二　在等差数列中，，，成等差数列，∴＝＋.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.(2)＝＝＝＝＝.反思感悟　等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练1　一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．解　设Sn＝an2＋

6、bn.∵S10＝100，S100＝10，∴解得∴Sn＝－n2＋n.∴S110＝－×1102＋×110＝－110.题型二　求等差数列前n项和的最值问题例2　在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．解　方法一　∵S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋d＝17×25＋d，解得d＝－2.∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法二　同方法一，求出公差d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.∵a1＝25>0，由得又∵n∈N＋，

7、∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法三　同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0.由等差数列的性质得a13＋a14＝0.∴a13>0，a14<0.∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法四　同方法一，求出公差d＝－2.设Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17，∴二次函数f(x)＝Ax2＋Bx的对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，∴当n＝13时，Sn取得最大值169.反思感悟　(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形：①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和．②若a1<0，d>

8、0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．②运用二次函数求最值．跟踪训练2　已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公