解平面向量问题是的常见错误剖析

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1、数学·专题突破解平面向量问题时的常见错误剖析□童其林王佩其杨鹏程学习平面向量的时候，同学们常常会出现这或小值.那样的错误.现列举几种常见问题，针对可能出现的二、由类比直线性质引起的错误错误进行剖析，供大家学习时参考.例3若a=（2，1－m）与b=（－m，m）平行，求m的值.一、由类比实数性质引起的错误21-m向量是有方向和大小的量，而实数是一个数，没错解由题意得=圯m=3.-mm有方向，所以满足实数的一些运算性质未必满足向量.剖析当m=0时，也有a∥b.例1已知a，b，c都是非零向量，λ∈R，有下列621-m漏掉一

2、解的原因是“=”仅是“a∥b”的个等式或命题：①a·b=b·a；②a（b+c）=ab+ac；-mm③（ab）c=a（bc）；④λ（a+b）=λa+λb；⑤若ab=ac，充分条件，而非充要条件.则b=c；⑥若a·b=0，则a=0或b=0.则所有正确等式或实际上，a∥b圳2m-（1-m）（-m）=0圳m=0或m=3.命题的序号是%%.三、忽视向量共线引起的的错误错解①②③④⑤⑥.例4已知向量a，b，c两两所成的角相等，并且剖析③是错误的.因为ab∈R，（ab）c与c共

3、a

4、=1，

5、b

6、=2，

7、c

8、=3.求向量a+b+c

9、的长度.线，而a（bc）与a共线，但a与c未必共线.错解易知a，b，c均为非零向量，设它们两两所⑤也是错误的.a·b=

10、a

11、

12、b

13、cosθ1，a·c=

14、a

15、

16、c

17、cosθ2.反成的角均为θ，θ+θ+θ=360°，所以θ=120°.所以a·b=1例：取

18、a

19、=1，

20、b

21、=1，a与b的夹角为60°，

22、c

23、=，a与c的2

24、a

25、

26、b

27、cos120°=－1.同理a·c=－3，c·a=－3.211夹角为0°.显然a·b=1×1×=1××1=a·c，但b≠c.%22所以

28、a+b+c

29、=姨(a+b+c)·(a+b+c)=%%⑥也是

30、错误的.a·b=

31、a

32、

33、b

34、cosθ=0，所以a=0或b=0，

35、a

36、2+

37、b

38、2+

39、c

40、2+2bc+2ab+2ca姨=姨3.或a⊥b.剖析漏解的原因是误以为a，b，c为非共线向量.故应填①②④.实际上，当向量a，b，c共线同向时，所成的角都例2若a与b是两个非零向量，t∈R，当a+tb的为0°，符合题意.所以应两种情形求解.长度取最小值时，求t的值.①当a，b，c共线同向时，所成角都为0°，此时错解因为

41、a+tb

42、2=a2+(2a·b)t+b2t2可看成t的二

43、a+b+c

44、=

45、a

46、+

47、b

48、+

49、c

50、=6.2a·ba2

51、②当a，b，c不共线时，同上解.次函数，故当t=-=-时，

52、a+tb

53、有最小值，即a+2b2b%故

54、a+b+c

55、为姨3或6.tb的长度有最小值.例5若向量a=(x，2x)，b=(-3x，2)，且a，b的夹角剖析忽视了向量数量积与实数积的不同，它为钝角，则x的取值范围是%%%%.是不可直接约分的，因为向量没有除法运算.因为

56、a+tb

57、=a2+(2a·b)t+b2t2可看成t的二次函数，错解因为a，b的夹角为钝角，于是可以得到a·故当t=-2a·b时，

58、a+tb

59、2有最小值，即a+tb的长度有最23b＜0，所以a·b=

60、-3x+4x<0，故x<0或x>.2b2441数学·专题突破%%剖析因为a，b的夹角为180°时，也有a·b＜0，3姨e2+e2+2e·e=3

61、e2+

62、e

63、2+2

64、e

65、

66、e

67、cos45°1212姨1

68、212=从而扩大了x的范围，导致错误.%%3姨2+姨2.因为a，b的夹角是钝角，故a·b=-3x2+4x<0，解得六、忽视零向量的特殊性引起的的错误4x<0或x>①.3例8a，b是任意向量，给出：①a=b；②

69、a

70、=

71、b

72、；又由a，b共线且反向，可得x=-1②.③a与b方向相反；④a=0或b=0；⑤a，b都是单位向3量

73、.其中%%%%%是a与b共线的充分不必要条件.1由①②，可得x的取值范围是-∞，-∪错解①③.314剖析忽略0方向的任意性，从而漏选.-，0∪，+∞.33应选①③④.四、错用平移坐标公式引起的的错误七、混淆实数0与向量0引起的错误π例6若把一个函数的图像按a=（-，－2）平移例9有四个式子：①0·a=0；②0·a=0；③0-3BBBBBBBBB后得到函数y=cosx的图像，则原图像的函数解析式为MN=NM；④AB+BC+CD+DA=0.其中正确的个数是（）（）ππA.3个B.1个C.2个D.4个A.y=

74、cosx++2B.y=cosx-－233错解式子①②③④全部正确，选D.ππC.y=cosx+－2D.y=cosx-+2剖析①中的0·a表示的是零向量与向量a的33∪数量积，结果是实数零，而不是零向量；②中的0·a表∪π∪x=x′+，∪3示实数零与向量a的积，结果应为零向量，而不是实错解把∪代入y=cosx中，可得y′=∪∪∪y=y′-数零；