平面向量常见错误的分析与对策.doc

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1、平面向量常见错误的分析与对策平面向量是高一新教材的内容，也是第一次进入中学数学教材。学生在学习这部分内容时常常会出现这样或那样的错误，有的错误不容易察觉。在平时的教学中常遇到的有以下几种典型的错误。我总结出来让学生以后在解题中避免或减少类似的错误。利用错题教学，有时会起到更好的教学效果。一．错用向量的方向致误DABC例1：三边长均为2，且错误的解法：，，同理可得　，。分析：这里误认为与的夹角为，两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角，范围是，因此与的夹有应为。正确的解法：如图作，与即向量与的夹角为∴＝＝－2，同理可

2、得∴＋＋＝－6。对策：在求两个向量的夹角时，要特别注意它们的方向。二、忽略共线向量致误　例2：已知同一平面上、、三向量所成的角均相等，且｜｜=1，｜｜=2，｜｜=3。求

3、++

4、的值。错误的解法：易知、、皆为非零向量，设、、所成的角均为，则++=。=。＝＝－1，同理=－3，=－。由=+++2（++）=1+4+9+2(－1－3－)＝14－11＝3。

5、++

6、=。分析：本例误认为、、为不共线，而当、、向量共线同向时，所成的角都为，符合题意。正确的解法：（1）当共线同向时，所成角都为。

7、++

8、=

9、

10、+

11、

12、+

13、

14、=1＋2＋3＝6（2）当、、不共线时

15、，同上解。综上所述，

16、++

17、的值为或6。对策：在研究两个或两个以上的向量时，通常要注意共线与不共线。特别注意，别忘了还有共线的可能。三、以特殊代替一般致误例3：已知、、是非零向量，则向量++=是、、能构成三角形的什么条件？说明理由。错误的解法：（1）当、、能构成三角形时，设=，=，=。++=　　++=。（2）当++＝时，取＝＝－，符合题意，但此时、、共线，不构成三角形。由（1）、（2）可知＋＋＝是、、能构成三角形的必要但不充分条件。分析：必要性的证明是一厢情愿，犯了用特殊代替一般的逻辑错误。正确的解法：在ABC中，若＝，＝，＝，则＋＋＝

18、++=＝2，因此上述条件既非充分又非必要条件。对策：在证明时，不要用特殊代替一般。四．忽视平移公式的应用范围例4、已知A（4，2），B（5，－3），将按向量＝（1，－2）平移后所得向量的坐标是（　　）（A）（9，－1）（B）（1，－5）（C）（1，7）（D）（2，－7）错误的解法：A（4，2），B（5，－3）＝（1，－5）将＝1，＝－5，及＝1，＝－2。代入平移公式得＝1＋1＝2，＝－5－2＝－7。故按向量平移后所得向量的坐标是(2，－7)，选（D）。分析：平移公式提示的是点沿着向量平移后前后坐标的变化关系，它并不适合向量平移的规律，上

19、述的错误是典型的乱用公式。正确的解答1：A（4，2），B（5，－3）按＝（1，－2）平移后分别变为（5，0）和（6，－5），所以＝（1，－5），故选（B）。正确的解答2：因向量平移后仍与原向量相等，故==(1，－5)，选（B）。对策：掌握数学公式时，通常要记清公式成立的条件和范围。五．分不清平移前后致误例5：若把一个函数的图像按平移后得到的函数的图像，则原图像的函数解析式为（　　）。A．　　　　　　　　　B．C．　　　　　　　　　　D．错误的解法：由向量平移公式得，则，代入得。故选（C）。分析：错选C是分不清前后所致，是平移图像后得到的

20、函数解析式，应为。正确的解法：由向量平移公式得，代入得。故选D。对策：在解有关图形平移的题目的时候，要注意哪个图形是移动前的，哪个是移动后的。六、混淆向量平移与直线平移的内涵致误例6：若将直线按向量平移到直线＋6，那么向量（　）A只能是（－2,0），B只能是（0,6），　C是（－2,0）或（0,6）　D有无数个错误的解法：（1）选A项。∵＋6＝3（x+2），∴向左平移2个单位得到直线+6，∴=(－2,0)。（2）选B项。∵直线向上平移6个单位得到直线＋6，∴=(0,6)。分析：A、B、C三个选项中，都使直线经过平移得到直线＋6，但忽视了

21、直线平移的特殊性，以上任一点为起点，＋6上任一点为终点的向量都符合题意。正确的解法：记＝（，）设(，)是平移后直线上任一点坐标，其平移前对应点坐标为（，）。由平移公式｛　，得＝－，＝－。代入得－＝3（－），即＝3－3＋，又＝3＋6，∴－3＝6，故的坐标只要满足－3＝6都符合题意。∴有无数个。（选D）对策：要注意向量平移与直线平移内涵的差别。直线是没有长度的，而向量是有长度的。七．错用假命题，导致解题错误。例7：已知、都是非零向量，且－4与7－2垂直，＋3与7－5垂直。求与的夹角。错误的解法：由题意得即（1）－（2）得46－23＝0，即（

22、2－）＝0　，＝或2－＝0。　，2－＝0　，与同向，即与的夹角为。分析：实数、满足＝0，则必有＝0或＝0，但对向量、满足＝0，却不能推出＝或＝，（如｜｜＝1，｜｜＝2，与的角为。则＝0，但，。）这里将实数的