平面向量问题错解辨析

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1、平面向量问题错解辨析　　摘要：平面向量已成为高中数学的主干知识，同时也是高考、竞赛、高校自主招生考试命题的热点内容.在学习本部分知识时，倘若对基础知识和基本技能掌握得不好，就很可能导致解题的失误，下面举例加以辨析，以期能对同学们的学习有所启发和帮助.　　关键词：数学教学；高中数学；平面向量　　一、基本概念不清　　例1将向量a=（1，2）按向量m=（2，3）平移后所得到的向量的坐标为（）　　（A）（3，5）（B）（-1，-1）（C）（1，2）（D）（3，-1）　　错解：由平移公式x′=x+h　　y′=y+k知向量a按向量m=

2、（2，3）平移后得到的向量的坐标为（3，5）.选（A）.　　辨析：向量又称自由向量，即只要长度相等，且方向相同的向量就是同一向量，故任一向量平移后得到的向量仍是其本身，坐标也不发生变化.选（C）.　　二、忽视定理前提　　例2已知直线l上有不重合三点A、B、C，P是任意一点，且向量PA=αPB+βPC，则α+β的值为（）5　　（A）1（B）-1（C）0（D）不能确定　　错解：因为A、B、C不重合，所以CB≠0，由向量共线定理知：存在唯一的实数λ使得BA=λCB成立，即PA-PB=λ（PB-PC），整理得PA=（1+λ）PB-

3、λPC，又因为PA=αPB+βPC，所以α=1+λ，β=-λ，所以α+β=1.选（A）.　　辨析：由平面向量基本定理知：只有当向量PB、PC不共线，即Pl时，才可作为平面向量的一个基底，此时PA=αPB+βPC中的α、β是唯一的！即有α=1+λ，β=-λ；而当　　图1P∈l时α、β却不是唯一的.如图1所示，设B、C是有向线段AP的两个三等分点，显然有PA=0PB+3PC=PB+PC=-PB+5PC=…，因此对任意的点P，α+β的值是不确定的.选（D）.　　三、混淆运算法则　　图2例3如图2，在平行四边形ABCD中，若AC2

4、?BD2=AB4+AD4，则∠DAB的大小为（）　　（A）90°（B）45°（C）135°（D）45°或135°　　错解：设AB=a，AD=b，则AC=a+b，BD=b-a，由已知可得（a+b）2?（b-a）2=（b2-a2）2=a4+b4-2（a?b）2=a4+b4，所以a?b=0，故∠DAB=90°.选（A）.　　辨析：上述解题过程两次用到公式x2?y2=（x?y）2，误将向量运算当成实数运算.事实上，x2?y2=

5、a

6、2

7、y

8、2，而（x?y）2=

9、x

10、2

11、y

12、2cos2θ，其中θ为向量x、y的夹角，因此只有当θ=0或

13、θ=π时才有x2?y2=（x?y）2.5　　正解：由已知可得（a+b）2（b-a）2=（a2+b2+2ab）（a2+b2-2ab）=（a2+b2）2-（2ab）2=a4+b4+2a2b2-4（a?b）2=a4+b4，所以a2b2=2（ab）2，所以a?b

14、a

15、

16、b

17、=±22，故∠DAB=45°或135°.选（D）.　　四、不是等价转化　　例4在平面直角坐标系内，已知点A（0，0）、B（3，-3）、C（n2+1，-2）、D（n，1），若四边形ABCD是平行四边形（A、B、C、D四点按逆时针排列），则实数n的值为（）　　（A）

18、-1（B）2（C）-1或2（D）不能确定　　错解：依题意有AB=DC，即（3，3）=（n2+1-n，-3），故n2+1-n=3，解得n=-1或n=2.选（C）.　　辨析：四边形ABCD是平行四边形可推出AB=DC，但AB=DC却不能推出四边形ABCD是平行四边形，还可能出现A、B、C、D四点共线的情形.因此，上述解法的转化是不等价的！事实上，当n=-1时，A、B、C、D四点就共线.选（B）.　　五、遗漏特殊情形　　例5已知向量a=（λ，2），b=（-3，5），若向量a、b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）　　（A）λ>

19、103（B）λ<103　　（C）λ<103且λ≠=-65（D）非上述答案　　错解：向量a、b的夹角为锐角a?b>0，即-3λ+10>0，解得λ<103.选（B）.　　辨析：非0向量m、n的夹角θ5为锐角与m?n>0是不等价的，上述解题过程遗漏了两个向量a、b同向共线的情形.　　正解：接上，设a=kb（k>0得λ=-3k　　2=5k，解得k=25　　λ=-65，　　所以当λ=-65时，向量a、b的夹角为0，不是锐角，故λ<103，且λ≠-65.选（C）.　　六、审题不够细致　　例6设e1和e2是夹角为60°的两个单位向量，且

20、a=e1+2e2，b=2e1+e2，则

21、a+b

22、的值为（）　　（A）3（B）32（C）33（D）非上述答案　　错解：因为a+b=e1+2e2+2e1+e2=3e1+3e2.所以a+b=（3，3），所以

23、a+b

24、=32.选（B）.　　辨析：上述解法，由于审题不细误把夹角为60°的两个单位向量e1和e2当成