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1、第21卷第5期计算力学学报Vol.21,No.52004年10月ChineseJournalofComputationalMechanicsOctober2004文章编号:1007-4708(2004)05-0580-05最优化算法的收敛准则123史文谱,刘迎曦,郭淑红(1.烟台大学机电学院,山东烟台264005;2.大连理工大学工程力学系,辽宁大连116024;3.烟台市技术学院基础系,山东烟台264002)摘要:收敛准则是最优化算法的重要组成部分,其选择得好与坏将直接影响到算法的成功与否以及收敛得快与慢。现有常用的收敛准则基本上是建立在前后迭代点的逼近和它们相应函数
2、值的逼近是否达到一定的精度要求以及迭代点处函数梯度是否接近于零的基础上的。它们各自有自己的适用范围。但它们的共同特点是对迭代终止点的性质不能做出判断。本文在总结和分析现有算法收敛准则的基础上,借助于正定矩阵、一维优化方法中对分法和黄金分割法,提出了新的算法收敛准则。算例结果表明,这些收敛准则是有效实用的。关键词:最优化;收敛准则;可靠性中图分类号:O221.2文献标识码:A然,理想的迭代收敛准则是如下形式的不等式:1引言(k)(min)‖X-X‖p≤ε数学中的最优化问题、工程反演的最优化方法(k)(min)以及变分法应用的有关问题中能够解析求解的问或│f(X)-f(X)
3、│≤ε1(1)题是非常有限的,大多数问题需要数值迭代求解。(min)(k)其中X,X分别是优化问题的极小点和第k这就涉及到数值算法的选择和研究,而判断一个数(min)(k)次迭代点;f(X),f(X)分别是目标函数值算法是否可行和优劣的重要原则之一便是其收(min)(k)f(X)在点X,X处的函数值;‖(·)‖p是括敛(终止)准则,即:判断在一定的精度要求下,数值号中向量的p-范数(p=1,2,∞)。然而,由于求解过程中所得到的迭代点是否正是我们所需要(min)X正是待求的,故该理想计算收敛准则是不实的。显然,收敛准则选择得好与坏,将直接影响到算际的,因此寻求其他能够实
4、行且满足式(1)的收敛法是否收敛以及收敛得快与慢的问题。目前常用的准则是必要的。文献[1-3]给出的几种算法收敛准[1-5]算法收敛准则在形式上已有多种,它们在许多则罗列如下:实际问题的数值求解过程中获得广泛应用。然而从准则1:当相邻两次自变向量的迭代结果相差理论上仔细分析一下,便可发现这几种收敛准则都充分小时,即:有一定的适用范围,因而缺乏应用上的统一性;何(k+1)(k)‖X-X‖p≤ε(2)况对于某些问题,应用这些准则时,还会给出错误的判断信息。鉴于算法收敛准则的思想在人工智能(k+1)(k)(k)-1或者‖X-X‖p·‖X‖p≤ε(3)和控制领域里也有实际和类似
5、的应用,因此,对算时,停止计算。法收敛准则进一步进行研究,不仅具有理论意义,准则2:当相邻两次迭代点处函数值的下降量而且也具有实用价值。充分小时,即:2几种算法收敛准则及其分析(k)(k+1)f(X)-f(X)≤ε1(4)对于无约束最优化问题:或者n1minf(X),f:R→R;D是问题搜索区域。显X∈D(k)(k+1)(k)-1[f(X)-f(X)]·[f(X]≤ε1收稿日期:2002-11-20;修改稿收到日期:2003-09-15.(5)基金项目:国家自然科学基金(10072014);高校博士点专项基金(200001707)资助项目.作者简介:史文谱(1963-)
6、,男,副教授,博士;时,停止计算。刘迎曦(1944-),男,教授,博士生导师.准则3:在无约束最优化问题中,当目标函数582计算力学学报第21卷具有一阶连续可微性,并且其梯度充分接近于零,始点,球面上的点为终点均匀选择m个单位向量(i)即:S(i=1,2,…,m),并给出精度控制指标ε;(k+1)(k)Step2:X为常用准则下得到的可能极小‖ f(X)‖p≤ε2(6)(k+1)点,例如有‖ f(X)‖p<ε;时,停止计算。其中上述准则中的参数ε,ε1,ε2是事(k+1)Step3:在X处,函数值应比上一次迭代点先给定的充分小的正数,用于控制算法收敛的计算(k)X处有所
7、下降,即:精度或终止限。(k+1)(k)(k)(min)f(X)
