《收敛准则》PPT课件

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1、§2.4收敛准则§2.4.1单调有界原理问题提出收敛数列有界，但有界数列未必收敛。问有界数列外，还应增加什么条件，是结论成立？定理2.4.1(单调有界原理)单调有界数列必收敛。证设数列{xn}单调增有界，即存在M，使得x1≤xn≤xn+1≤M由确界原理，由{xn}构成的数集必存在上确界，对>0，存在xN，使得，当n>N时，有0，证明数列{xn}收敛，并求其极限。，n=1，2，…，解因，n=1，2，…，又表明xn+1xn与xnxn1同号，即xn+1xn定号，故{x

2、n}单调，由单调有界原理，{xn}收敛。记2对求极限，则有所以3例2.4.2设0

3、xk>0，则有对求极限，得由此解得=3，于是6§2.4.2两个重要极限(ⅰ)在引进极限时，多次提到我国的刘徽用割圆术求圆的周长问题。设圆的半径为r，内接正n边形，每边所对的圆心角为，接正n边形边长为，n时，数列的极限应当存在，需给出证明，并求出其值。7的符号，几乎不可能，为此考虑两者的比值令先证数列单调。计算则上式为8继而又于是所以9数列单调增。再证数列有界性。半径为r的圆，内接正n边形的面积为必小于这个正n边形的外接圆的面积4r2，即10合上，数列单调增有界。故收敛，记为。这时=圆的周长2r；故=引进弧度，则有继而特点，是无穷小量。这是

4、第一个重要极限11(ⅱ)数列证明(1)方法1：直接展开。，单增有界。数列，单减有界。且12所以，单增。又因13合上，单增有界。(1)方法2：利用算术、几何均数14为证有界，由于表明数列单调减15于是合上，单增有界。两种方法评述：方法1直观，且关于{xn}的极限有较好的估计，特别是给出有界性证明方法。并且可以推测16方法2简洁但较抽象，在有界性证明中给出了数列{yn}是单调减有界的结论。这是方法1所不具备的。以后将证明，这种第六感觉是正确的。17第二个重要极限的特点：无穷小量合上，极限第二个重要极限且由于故与无穷大量n的乘积=1。18§2.4.3数列的子

5、列若数列{yn}单调，当数列{yn}再增加有界这个条件，则数列{yn}必收敛。对于单调数列{yn}，还可以增加什么条件，代替有界条件，仍然保证数列{yn}收敛。另外，所遇到的数列大多数都不具有单调性，如何使研究其收敛性问题得到简化？例如，数列xn=1，0，1，0，1，…能否用数列{xn}的第1项，第3项，…，第2k1项，…构成的数列{x2k1}：1，1，1，…是发散的，说明{xn}也是发散的？——(结论：是可以)19在所举的例中，称数列{x2k1}是数列{xn}的子列；它的定义如下。定义2.4.1设数列{xn}，对于数列{nk}，通项nk是正

6、整数，且是严格递增的，则称{xn}中按{nk}排列的数列为数列{xn}的子列。20注：数列{nk}除严格增外，还具有以下性质。(ⅰ)nk>k；(ⅱ)若nk>nl，必有k>l；(ⅲ)定理2.4.2(数列与子列的关系)数列{xn}收敛数列{xn}的任意子列都收敛。(ⅰ)nk>k；(ⅱ)若nk>nl，必有k>l；证明“”(必要性)若数列{xn}收敛于a，并设a是有限数，则有>0，N，当n>N，恒有是数列{xn}任一个子列。由21当k>N时，因nk>k，故nk>k，所以恒有数列{xn}一个子列所以“”(充分性)若数列{xn}任一个子列都收敛，记收敛

7、于有限数a。这样一来，得到一个重要结论：若数列{xn}收敛于a，则数列{xn}任意子列都收敛于a。22也是数列{xn}的子列，所以收敛。另一方面由必要性证明，可知a=b，矛盾！显然，是的子列。事实上，设{xn}两个子列往证{xn}所有子列都收敛于数a。分别收敛于a，b，(ab)，则取{xn}子列其中是数集按正整数大小顺序排列所成的数列。23得到数列{xn}的子列它不收敛于a。矛盾！即0>0，N，n0>N，有再证，{xn}收敛于a。事实上，若{xn}不收敛于a。取N1=1，n1>N1，有取N2>max{2,n1}，n2>N2，有取N3>ma

8、x{3,n2}，n3>N3，有一般地取Nk>max{k,nk1}，nk>Nk，有同理可证