《ch24收敛准则》PPT课件

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1、第四节收敛准则一、单调有界定理重点与难点:实数系的基本定理六、小结五、实数系的基本定理二、闭区间套定理三、Bolzano-Weierstrass定理四、Cauchy收敛原理注记一、单调有界定理1、定理例1证例2证证⑴⑵例3⑶例4证2、应用（1）实数π证明：例5证（2）实数e类似地,例6证例7证例8证特别地，（3）实数γ练习扩展解例9证二、闭区间套定理1、定理证(1)存在性(2)唯一性证(反证法)所以实数集R是不可列集.小结单调有界定理单调增有上界；单调减有下界闭区间套定理作业P68:1(单),2(双),4-7.思考题利用闭区间套证明确界定理和单

2、调有界定理三、Bolzano-Weierstrass定理1、子列2、数列极限与子列的关系定理证必要性充分性例10证3、Bolzano-Weierstrass定理证波尔查诺（BernardBolzano），捷克数学家、哲学家。1781年10月5日生于布拉格，1848年12月18日卒于布拉格。1796年入布拉格大学哲学院攻读哲学、物理学和数学，1800年又入神学院，1805年任该校宗教哲学教授。1815年成为波希米亚皇家学会的会员，1818年任该校哲学院院长。1819年因为宗教斗争失去教授及院长职位，并且受到政治监督，直到1825年波尔查诺（Ber

3、nardBolzano），捷克数学家、哲学家。1781年10月5日生于布拉格，1848年12月18日卒于布拉格。1796年入布拉格大学哲学院攻读哲学、物理学和数学，1800年又入神学院，1805年任该校宗教哲学教授。1815年成为波希米亚皇家学会的会员，1818年任该校哲学院院长。F.克莱因:“波尔查诺是算述化之父"主要成绩波尔查诺的主要数学成就涉及分析学的基础问题。他在《纯粹分析的证明》(1817)中对函数性质进行了仔细分析,在A.-L.柯西之前首次给出了连续性和导数的恰当的定义；对序列和级数的收敛性提出了正确的概念；首次运用与实数理论有关的

4、原理：如果性质不是对变量所有的值成立，而对小于某个的所有的值成立，则必存在一个量，它是使不成立的所有(非空)集的最大下界。在1834年撰写但未完成的著作《函数论》中，他正确地理解了连续性和可微性之间的区别，在数学史上首次给出了在任何点都没有有限导数的连续函数的例子（用曲线表示的函数，没有解析表达式）。波尔查诺对建立无穷集合理论也有重要见解,在《无穷的悖论》(1851)中,他坚持了实无穷集合的存在性，强调了两个集合的等价概念（即两集合元素间存在一一对应），注意到无穷集合的真子集可以同整个集合等价。对波尔查诺来说有点不幸的是：他的数学著作多半被他的

5、同时代的人所忽视，他的许多成果等到后来才被重新发现，但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了。（这其中的主要原因可能是他生于一个当时数学并不发达的国度，也缺乏与国外的交流）。轶闻波尔查诺还有一则逸闻。有一次在布拉格度假，突然间生病，浑身发冷，疼痛难耐。为了分散注意力便拿起了欧几里德的《几何原本》。当他阅读到第五卷比例论时，即被这种高明的处理所震撼，无比兴奋以致完全忘记了自己的疼痛。事后，每当他的朋友生病时，他就推荐其阅读欧氏《几何原本》的比例论。维尔斯特拉斯（Weierstrass，KarlTheodorWilhelm）(1815-1897)“

6、维尔斯特拉斯是我们大家的老师”----埃尔米特“一个没有几分诗人才气的数学家永远不会成为一个完美的数学家。”----维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯是德国分析学家，对复变函数论、幂级数、椭圆函数、连续性、二次型以及变分学贡献尤著。他生於德国威斯特伐利亚的小村落奥斯滕费尔德，卒於柏林。他曾於波恩大学（BonnUniversity）学法律和财政，但因酗酒和击剑度过四年而未获学位；后于1838年改学数学而得古德曼的热心教导。在1842年─1855年间，先后在几个小城镇的中学任教14年之多。除了教数学之外，还教物理、德语、作文、地理以及体育等课程，业馀坚持数学

7、研究。在此期间，他未与数学界接触而独力发展一套全新且严密的数学分析方法，使他得以描述一种连续而又到处不可微的函数，从而完全地推翻了关於这些概念的直观方法。1854年，他发表了一本关於发展阿贝尔（Abel）函数论成果的专论──《关於阿贝尔函数论》公诸於世之後，根据他的学术成就，哥尼斯堡大学授予他名誉博士学位。1856年由库默尔推荐成为柏林大学（FreieUniversitätBerlin）助理教授，1865年晋升为教授。生前，他的研究结果大都是向学生讲授传播的。1886年，他出版了《函数论论文集》。虽然他的著作不多，但却发表了最有影响的

8、论文。维尔斯特拉斯的主要贡献在数学分析、解析函数论、变分法、微分几何学和缐性代数等方面。他是把严格的论证引进分析学的一位大师。他的批判精神对19世纪数