收敛与收敛阶ppt课件.ppt

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1、向量1-范数：向量2-范数：向量无穷范数：复习设向量x＝(x1，x2，…，xn)T，定义设n阶矩阵A＝（aij），常用的矩阵范数有：矩阵1-范数：矩阵2-范数：矩阵无穷范数:列和行和A的Frobenius范数:矩阵的谱半径设λ是矩阵A相应于特征向量x的特征值，即Ax＝λx向量-矩阵范数的相容性，得到

2、λ

3、

4、

5、x

6、

7、=

8、

9、λx

10、

11、从而，对A的任何特征值λ均成立=

12、

13、Ax

14、

15、≤

16、

17、A

18、

19、

20、

21、x

22、

23、

24、λ

25、≤

26、

27、A

28、

29、（3）设n阶矩阵A的n个特征值为λ1,λ2，…λn，称为矩阵A的谱半径。谱半径定理对任意，有迭代法的一般形式已知线性代数方程组首先将方程组

30、改写成等价的形式从而建立迭代式：称为迭代序列，并称H为迭代矩阵。3.7迭代法及其收敛性3.7.2迭代法的收敛性利用迭代公式构造序列,以求得方程组的近似解的算法称为解式的简单迭代法。若迭代序列收敛，则称此迭代法是收敛的。两式相减，知误差向量满足下列迭代关系：由此递推：向量序列的收敛!!!矩阵序列的收敛???定理2：迭代法对任何初始近似均收敛的充分必要条件是定理3：的充要条件是定理4：迭代法对任何初始近似均收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径推论：若(允许为任何一种相容的矩阵范数)，则迭代法收敛。例1设其中，讨论该迭代法的收敛性。例2设其中，讨论该

31、迭代法的收敛性。3.7.3迭代法的收敛速度定理5当时，由迭代法（2.2.3）式所定义的序列满足如下估计式：现在讨论使误差减少初始误差的倍所需的最少迭代次数。若要求则两边取对数得:定义:为迭代法(2.2.3)的渐进收敛速度。线性方程组的直接解法1逐步逼近1.1Jacobi迭代法1.2Gauss-Seidel迭代法1.3超松弛(SOR)迭代法2下降法2.1最速下降法2.2共轭梯度法由向量范数

32、

33、x

34、

35、v派生出的矩阵范数：相容范数：满足不等式关系称之为矩阵A的算子范数，其中p＝1，2或∞。定义5.矩阵的算子范数定理2.2由上式所定义的矩阵范数为相容范数

36、。证明：当x=0时，(1)式显然成立。矩阵的谱半径矩阵范数同矩阵特征值之间有密切的联系，设λ是矩阵A相应于特征向量x的特征值，即Ax＝λx,于是利用向量-矩阵范数的相容性，得到

37、λ

38、

39、

40、x

41、

42、=

43、

44、λx

45、

46、从而，对A的任何特征值λ均成立=

47、

48、Ax

49、

50、≤

51、

52、A

53、

54、

55、

56、x

57、

58、

59、λ

60、≤

61、

62、A

63、

64、（3）设n阶矩阵A的n个特征值为λ1,λ2，…λn，称为矩阵A的谱半径。3.7迭代法及其收敛性3.7.1迭代法的一般形式已知线性代数方程组首先将方程组改写成等价的形式从而建立迭代式：称为迭代序列，并称H为迭代矩阵。3.7.2迭代法的收敛性利用迭代公式构造序列,以

65、求得方程组的近似解的算法称为解式的简单迭代法。若迭代序列收敛，则称此迭代法是收敛的。两式相减，知误差向量满足下列迭代关系：由此递推：定理2：迭代法(2.2.3)式对任何初始近似均收敛的充分必要条件是定理3：的充要条件是定理4：迭代法(2.2.3)式对任何初始近似均收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径推论：若(允许为任何一种相容的矩阵范数)，则迭代法(2.2.3)式收敛。例1设其中，讨论该迭代法的收敛性。例2设其中，讨论该迭代法的收敛性。3.7.3迭代法的收敛速度定理2.5当时，由迭代法（2.2.3）式所定义的序列满足如下估计式：现在讨论使误差减

66、少初始误差的倍所需的最少迭代次数。若要求则两边取对数得:定义:为迭代法渐进收敛速度。