矩阵QR分解的一种简便求法_章朝庆

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1、第!卷第"期泰州职业技术学院学报9’,:!;’:"#$$!年%月&’()+,’-.+/01’(2’,34561/6+,784/4(45<(=:#$$!矩阵!"分解的一种简便求法章朝庆%泰州职业技术学院基础部!江苏泰州##!H$$&摘要"利用矩阵的初等变换给出了求矩阵分解的一种简便方法!此法不但简单有效!且有实用价值#关键词"初等变换$矩阵中图分类号"E@!文献标识码"<文章编号"@FB@G$@"#%#$$!&$"G$$"@G$H定理设!为"阶满秩矩阵!!I%!#$@!!#!’!!"&#对矩阵%!!!&施行初等行变换%

2、互换两行除外&!求得可逆矩阵%!使&’()$$的行向量组为正交向量组!且"能由!’%"@!"#!(!""&@!!#!(!!%I!!"!(!$$@$$"&线性表示#对%(%))&()&施行第二种初等行变换%+&!得可逆矩阵(@!使%(@(%))&(@()&I%,"+$-@&!令-.-@!则).-,!其中,为上三角矩阵!-为正交矩阵#证明因为)可逆!则)$)是"阶对称正定矩阵#对"##"阶矩阵%)$$$)!)&施行初等行变换%互换两行除外&!把))化为上三角形矩阵!即"/@J(J%#&$$$$#$/#(J()$&%))!

3、)&!%2%))&()&I#((((&#&$$$(/"’其中/$$是对称矩阵!从而有+K$%+I@!#!(!"&!(是初等矩阵之积!从而(可逆#又(%))&("/@$($%(&($/#($&$$(%))&(I(((((&(&$$$(/"’令0I()$$I%"@!"#!(!""&"/@$($%(&$$$$$$$$($/#($&则00.()%()&.%()&%)(&%(%))&(I(((((&(&$$$(/"’/+!+.从而%"+!"&%且"可由!@!!#!(!!线性表示#$!+)由于($为正交矩阵!@0.(@()故-,

4、.-$$$$$$$$@%(@())&%%(@()&)%(@())&I%(@()&)%(@()&)%!"#"证毕由上述定理的证明过程!给出矩阵)的-,分解步骤如下"$%@&求))!其中)I%!@!!#!(!!"&$$$$$$$%#&构造"&#"阶矩阵%)))&!对%)))&施行初等行变换%互换两行除外&%)))&!%(%)作者简介>章朝庆?@A!BCD!女!江苏海安人!副教授:1$泰州职业技术学院学报第1期#!!"!!##为行正交矩阵"为初等矩阵的乘积""#!!!为上三角矩阵""!######!!设"!"#!#"!$"

5、$"!$!"#"#!!!"!!的第%行各元素除以!%#%"%"!"!"$!%此时#"#!!!#为正交矩阵"令&"&#"!!!#!&#!"为上三角矩阵"&##&则!’&(%"#’’%#&例!求矩阵!’#’#’&的&(分解%#&$#’#’"#’#%"(()%(&(&解&#$"(’#’&#$#"((+&(&(&$’’#’$)+’"(()%$%%)"(()%$%%(&()%0)$"-()%0)!"()!(&#!#!!#!"((+$%$&(,!%%-%%&(&(&$)+$$%’$,(..-’-%’"(()%’%%(!)!0)’

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8、%’’34&50&&)&6,!"#$%&’(’)&+,#-./01,/#234!567819:#-;’()+,-,+./,.0.123")+4567869:2.,5/+,;/2+272.<")+4567=+)/>7??@ABB,?789:;<=>;?@8>AB9C9>DE7F>E<=:C9;9EFCG7