一种采用Householder变换递归实现的复矩阵QR分解算法

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1、系统仿真学报Vol.16No.11•2432•JOURNALOFSYSTEMSIMULATIONNov.2004一种采用Householder变换递归实现的复矩阵QR分解算法121胡冰新，李宁，吕俊12（解放军理工大学通信工程学院，南京210007；解放军理工大学科研部，南京210007）摘要：QR分解可以改善矩阵条件数，从而提高数值稳定性。由于传统的基于Householder变换的QR分解算法无法有效处理复数矩阵，限制了它的进一步应用。本文提出了一种复数形式的QR分解算法，该算法通过对传统算法进

2、行修改，采用Householder变换递归实现了复矩阵的QR分解，修正后的算法公式可以有效处理复数信号，同时保持了实矩阵QR分解算法的良好性能。新的算法公式对于各种采用QR分解的应用均具有重要意义。通过对其在最小二乘问题中的应用进行仿真，验证了算法在复信号环境下的性能。关键词：复数QR分解，Householder变换，最小二乘，数值稳定性文章编号：1004-731X(2004)11-2432-03中图分类号：TP391.9文献标识码：AAComplexQRDecompositionAlgorith

3、mUsingRecursiveHouseholderTransformation121HUBing-xin,LINing,LVJun1（InstituteofCommunicationEngineering,PLAUniv.ofSci&Tech.,Nanjing210007,China；2.DepartmentofScientificResearch,PLAUniv.ofSci&Tech.,Nanjing210007,China）Abstract:QRdecompositioncanimprove

4、theconditionnumberofamatrixandthenimprovethenumericalstability.BecausetheconventionalQRdecompositionalgorithmbasedontheHouseholdertransformationcannothandlecomplexmatrixeffectively,theapplicationofitislimited.AcomplexQRdecompositionalgorithmisproposed

5、.BymeansofHouseholdertransformationtheQRdecompositionofacomplexmatrixcanbedonerecursively.Therebycomplexsignaldatacanbeprocessedeffectivelythroughthisnewalgorithmwhilemaintainingtheperformanceofitsrealcounterpart.Simulationresultsinleastsquareproblems

6、havedemonstratedthevalidityoftheproposedalgorithm.Keywords:complexQRdecomposition,Householdertransformation,leastsquare,numericalstability1引言1问题的提出在许多最小二乘（LS）问题中需要用到QR分解来改善假定最小二乘问题用如下矩阵方程表示：矩阵条件数，提高数值稳定性。Zheng-SheLiu在[1]中提出了FnRM=0（1）一种基于Householder变换的

7、QR分解算法来解决参数辨识问其中T题，该算法简单易行，但无法处理复数矩阵，这限制了它的éùj1êúT进一步应用。由于在许多应用中大量出现的是复数信号（如jêú2（2）采用正交相位调制的通信系统），开发相应形式的复矩阵F=nêúMêúTQR分解算法是很有必要的。本文通过引入复数形式的QRêújn-1êújT分解对该算法进行修正，使得其可以用于复信号环境。但由ëûn于[1]的算法中QR分解采用了递归形式的Householder变换，j、P是M维列向量，n>M（意味着（1）是超定方程）。kM因此这种修正

8、并非是简单地将复数QR分解取代实数QR分对于Fn为实矩阵的情况，令Hn为将矩阵Fn变换为解，需要通过仔细考察算法的推导过程来进行。上三角矩阵的正交矩阵，即第1节首先提出了算法要解决的基本问题，然后在第2***éjjLjù11121M节介绍采用Householder变换的复矩阵QR分解，第3节对[1]ê**úêj22Lj2Mú（3）的算法进行修正，提出了基于Householder变换的复数QR分F*=HF=êOMúnnnêú*解算法，第4节给出了Matlab仿真计算的结果，第5节给出