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1、第21卷第3期河海大学常州分校学报Vo1.21No.32007年9月JOURNALOFHOHAIUNIVERSITYCHANGZHOUSept.2007文章编号:1009-1130(2007)03-0018-04平稳河道水波模型的最优控制乔正明121,冯志刚,王成杰(1.常州纺织服装职业技术学院基础部,江苏常州213164;2.江苏大学理学院,江苏镇江212013)摘要:研究平稳静态河道水波模型的最优控制问题.应用分布式参数系统最优控制理论和相关的泛函Sobolve空间知识,选择轨迹型的性能指标和特殊的Banach空间,证明平稳模型
2、方程在Dirichlet边界条件下最优解的存在性.通过引入Lagrangian乘子将等式约束和轨迹型性能指标转化为Lagrangian项和罚函数项,并用非线性泛函中的Frechet导数和变分不等式研究了最优解存在的一阶必要和二阶充分最优条件.此条件是研究浅水波模型最优控制可计算性理论和实际应用的基础.关键词:河道水波模型;RLW!Burgers方程;最优控制;一阶必要条件;二阶充分条件中图分类号:O241.82文献标识码:A近几年来,流体和燃烧的最优控制问题受到了广泛的关注,流体中水波的长期动力学行为是一个复杂的问题,历来是理论界和
3、工程技术界关注的焦点.文献[1]研究了对流-扩散现象的简易模型,如震动波、机翼的超音速流、交通流等的最优控制,文献[2]研究了固体燃料燃烧的最优控制.两者不仅对相应的模型进行了最优控制,而且还用广义二次差分算法对其进行数值模拟,算法的二阶收敛速度取决于二阶充分最优条件,因此研究最优控制的一阶必要条件和二阶充分条件显得尤为重要.文献[3]研究了无穷维规划问题的最优条件,文献[4-6]用二阶方法研究了依赖于时间的流体流动,文献[7]给出了河道水波表面传播的RLW!Burgers方程的一般形式.本文研究某时刻一维浅水波模型RLW!Burg
4、ers方程的最优控制,对最优解存在的一阶必要和二阶充分条件进行了证明.1符号与命题考虑下面形式的等式约束最小化问题:minJ(y),s.t.e(y)=0(1)式中,J∶X→R,e∶X→Y.X,Y表示实的Hilbert空间,Hilbert空间X×Y被赋予Hilbert空间的积拓扑.对式(1)定义推广的Lagrangian泛函Lc∶X×Y→R,即c2Lc(y,!)=J(y)+〈e(y),!〉Y+‖e(y)‖Y(c≥0)2当c=0时,L0(y,!)=J(y)+〈e(y),!〉Y,式中〈.,.〉Y表示Y中的内积.假设1.1设存在一参考点y*
5、∈X,使得*的邻域Lipschitz连续;(a)J和e二次连续地Frechet可微,映射J″和e″在y**满射;(b)算子e的线性化e′(y)在y*存在,且!*(c)Lagrange乘子!∈Y满足一阶必要最优条件***Lc′(y,!)=L0′(y,!+ce(y))=0(c≥0)(2)**(d)算子L0″(y,!)在e′(y″)的核上是强制的,即是存在一个常数k>0使得L″(y*,!*)"2≥k‖"‖2,"∈kere′(y*)0X命题1.1[1]若假设1.1成立,则y*为式(1)的一个局部解,并且存在(y****,!)的一个邻域,使得
6、(y,!)为收稿日期:2007-01-09作者简介:乔正明(1979-),男,江苏丹阳人,助教,主要从事小波与分形几何应用方面的研究.第21卷第3期乔正明,等平稳河道水波模型的最优控制19式(2)的唯一解.命题1.2设区域!=(0,1)!R,若定义有界线性算子K,使得Kw=(yw+w)′,式中w∈H110(!),y∈H(!),则算子K是紧的.证明:在H11-1和0(!)中取有界序列{wn}n∈N,由于H0(!)!L(!)!H(!)成立,因此存在子序列{wnk}nk∈N12w∈H0(!),当k→∞时在L(!)中有wnk→w.即‖Kwn
7、-Kw‖-1=‖(ywn+wn)′-(yw+w)′‖-1≤‖y‖∞‖wn-w‖2+‖wn-w‖2=(‖y‖∞+1)‖wn-w‖2kHkkHLkLkLLkL因此{w包含的强收敛子列在H-1n}n∈N(!)中,即算子K是紧的.2平稳模型的最优控制2.1最优控制问题假设存在一维区域!=(0,1)!R,!2-10!!具有正测度,定义有界线性延拓算子B:L(!0)→H(!0)使得21-11-111〈Bu,!〉-11=u!dx.式中,u∈L(!0),!∈H0(!),〈.,.〉H,H0表示H和H0间的对偶积.Hilbert空间H0(!)H,H(0
8、!01赋予内积〈!,"〉H1=(!′"′dx,!,"∈H0(!).静态的RLW"Burgers方程可表示为0!-#y″+yy′+y′=f+Bu,y(0)=$,y(1)=%(3)式中:#>0;f∈H-1(!);$,%∈R.定义2.1.1
