最优控制模型.ppt

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1、第六章最优控制模型6.0引言1、经济行为人决策的典型特征经济活动的行为主体主要有家庭、企业和政府。家庭在做决策时，既要考虑今天，也要考虑明天，既要考虑当代，还要考虑下一代；企业在做决策时，不仅要考虑当期的收益，也要考虑未来的持续经营；政府在做决策时，不仅要考虑当前，也要考虑未来。总之，经济行为人的决策是一个跨期优化(intertemporaloptimazation)问题。2、处理跨期优化问题的方法(1)最优控制(optimalcontrol)(2)变分法(calculusofvariations)(3)动态规划(dy

2、namicprogramming)6.1离散跨期选择问题1、离散跨期选择的经典问题——“吃糕”问题假设行为人拥有一些不可再生的资源，如一块蛋糕，该资源的初始存量为S0，行为人在时期t的消费量为ct，则在时期t资源的存量为：St=St-1-ct再假设行为人确切地知道他能活3个时期，如青年、中年、老年三个时期，问题是该行为人如何将其资源在各个时期中消费？6.1离散跨期选择问题2、“吃糕”问题的数学表述记行为人的效用函数为u(ct)，该效用函数在各个时期均相同，且有：u´(c)>0，u´´(c)<0，u´(0)=再记未来效

3、用的折现率为ρ，行为人追求一生当中效用的现值的最大化，则该行为人的消费决策问题就可表示为：式中St称为状态变量，ct称为控制变量。6.1离散跨期选择问题3、“吃糕”问题的求解假设行为人并没有留有遗产的动机，则有：S3=0，c3=S2，c2+c3=S1，c1+c2+c3=S0使用拉格朗日乘子法，得：MaxL=u(c1)+u(c2)/(1+ρ)+u(c3)/(1+ρ)2+λ(S0-c1-c2-c3)使L最大化的一阶条件为：L/c1=u´(c1)-λ=0L/c2=u´(c2)/(1+ρ)-λ=0L/c3=u´(c

4、3)/(1+ρ)2-λ=0即有：u´(c1)=u´(c2)/(1+ρ)=u´(c3)/(1+ρ)26.1离散跨期选择问题3、“吃糕”问题的求解由式u´(c1)=u´(c2)/(1+ρ)=u´(c3)/(1+ρ)2，可知：如果折现率=0，则有：u´(c1)=u´(c2)=u´(c3)即：c1=c2=c3如果折现率>0，则有：u´(c1)c2>c3如果确切知道和S0的值，则可具体求出c1、c2和c3。6.2连续时间的最优控制6.2.1基本概念1、跨期效用函数所谓跨期效用函数，即行

5、为人一生的总效用函数，如“吃糕”问题中的效用函数：U(c1,c2,c3)=u(c1)+u(c2)/(1+ρ)+u(c3)/(1+ρ)2其中，每个时期的效用函数u(ct)称为“幸福”(felicity)函数。对于连续时间的情形，跨期效用函数通常写为：U(ct)=t0Tu(ct)e-ρtdt其中每时刻的效用函数u(ct)又称为瞬时效用函数，或“幸福”函数。6.2连续时间的最优控制1、跨期效用函数如此设定的跨期效用函数具有可加性(additivity)或称可分离性(separability)的性质。可分离性的条件为：Mi

6、j/ck=0其中Mij为不同时期消费的边际替代率(marginalrateofsubstitutionbetweenconsumptioninperiodiandj)，即：Mij=Ui(.)/Uj(.)=(U/ci)/(U/cj)6.2连续时间的最优控制2、指数折现率在跨期效用函数中，通常需要有折现因子。一般地，折现因子可表示为α(t)。在连续时间的跨期效用函数中，折现因子一般设定为指数形式，即有：α(t)=e-ρt设定指数折现形式的好处是可避免时间不一致性(timeinconsistency)。所谓时间不一

7、致性是指，一个消费计划在开始时被认为是最优的，但过了一段时间再评估就不是最优的了。6.2连续时间的最优控制3、目标函数跨期最优化问题的目标函数的一般形式为：F(s,c,t)=t0Tf[s(t),c(t),t]dt其中，T可以是无穷大，折现因子已包含在了f[s(t),c(t),t]函数之中。s(t)称为状态变量，c(t)称为控制变量，t为时间。若时间t只是间接地通过s(t)和c(t)出现在函数f之中，则称此跨期优化问题为自治问题(autonomousproblem)，若t直接出现在函数f之中，则称为非自治问题(non-

8、autonomousproblem)。6.2连续时间的最优控制4、状态变量的运动方程状态变量就是不由行为人直接控制的系统内生决定的变量，而控制变量则是行为人可直接控制的变量。行为人通过对控制变量的控制可以间接地影响状态变量，状态变量的变化方程是控制变量的函数，可表示为：ś(t)=g[s(t),c(t),t]称为状态变量的运动方程。