平稳时间序列的ARMA模型.doc

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1、第五讲（续）平稳时间序列的ARMA模型621平稳性有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就是所谓的平稳模型。这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。其统计规律不会随着时间的推移发生变化。平稳的定义分为严平稳和宽平稳。定义1（严平稳）设是一个随机过程,是在不同的时刻的随机变量，在不同的时刻是不同的随机变量，任取个值62和任意的实数，则分布函数满足关系式则称为严平稳过程。在实际中，这几乎是不可能的。由此考虑到是否可以把条件放宽，仅仅要求其数字特征(数学期望和协方差)相等。定义2（宽平稳）若随机变量的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）存在，且

2、满足：62（1）任取，有；（2）任取，，有协方差是时间间隔的函数。则称为宽平稳过程，其中为协方差函数。2各种随机时间序列的表现形式62白噪声过程（whitenoise，如图1）。属于平稳过程。yt=ut,ut~IID(0,s2)图1白噪声序列（s2=1）62随机游走过程（randomwalk，如图11）。属于非平稳过程。yt=yt-1+ut,ut~IID(0,s2)62图2随机游走序列（s2=1）62图3日元兑美元差分序列62图4深圳股票综合指数62图5随机趋势非平稳序列（m=0.1）图6随机趋势非平稳序列（m=-0.1）62图7对数的中国国民收入序列62图8中

3、国人口序列623延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻，记B为延迟算子，有。特别是差分算子。4．ARMA(p,q)模型及其平稳性和可逆性4.1模型类型及其表示在平稳时间序列的分析中，应用最广泛的是有限参数模型。62p阶自回归模型：用自己的过去和现在的随机干扰表。是白噪声。q阶移动平均模型：用现在和过去的随机干扰表。p阶自回归和q阶移动平均模型：自己的过去及过去和现在的随机干扰表。其中是白噪声序列。624.2平稳性是平稳时间序列的反映吗？如果它是平稳时间序列的模型，回归系数应该满足何种条件呢？例

4、设是一阶自回归模型，即或，其中则（利用等比级数的通项和公式）62==如果，，的系数随着的增加而趋于无穷大，这显然违背了“远小近大”的原则，由此可见，平稳的充分必要条件是，的充分必要条件方程的根在单位圆外。设是一个p阶自回归模型62或其中：。平稳的充分必要条件是：的根在单位圆外；的根在单位圆内证明请参看附录1。。4.3可逆性62我们可以考虑到一个时间序列是否可以用它的现在值和过去值来表示现在时刻的随机干扰呢？即这种表达式称为“逆转形式”。如果一个时间序列具有逆转形式，也就是说逆转形式存在且平稳，通常称该过程具有可逆性。例设是一阶滑动平均模型，即或，其中62则（利用

5、等比级数的通项和公式）==对于一阶滑动平均模型，无论取何值，是一个名副其实的平稳序列，但是对于的“逆转形式”是否存在，则取决于是否小于1。如果，62的系数随着的增加而趋于无穷大，这显然违背了“远小近大”的原则，由此可见，的逆转形式存在的充分必要条件为，的充分必要条件方程的根在单位圆外。可逆的充分必要条件为，方程62的根在单位圆外。的根在单位圆内证明参看附录2。。由于自回归模型稍微变形，就是用系统的现在和过去值表示随机干扰项，所以自回归模型自然可逆。4.4ARMA（p，q）的平稳性和可逆性设时间序列是ARMA（p,q）模型62令则模型记为如果1.，；2.和无公共因

6、子；3.和的根在单位圆外。62则是自回归移动平均模型，平稳且可逆。它有传递形式，由此可以认为，任何一个自回归滑动平均模型都可以用一个足够高阶的滑动平均模型逼近。逆转形式，可见任何一个自回归滑动平均模型都可以用一个足够高阶的自回归模型逼近。5平稳时间序列的统计特征5.1总体的自相关函数和样本的自相关函数62（看参考教材王燕，应用时间序列分析，中国人大出版社，2005）一、AR(p)模型的自相关函数AR(p)模型，自相关函数快速收敛于零，但不等于零,“拖尾”。又因为ARMA（p，q）模型的可逆性，即，所以任何一个ARMA（p，q）模型都可以表示为一个足够高阶的AR（

7、p）模型，所以ARMA（p，q）模型与AR（p）模型有相同的统计特性。下面从可以从图18到图25观察时间序列图与其自相关函数图的特点。62图9白噪声序列的自相关函数62图10白噪声序列的自相关函数图62图11人工模拟序列图62图12人工模拟序列的自相关函数图62图13模拟随机游走序列图62图14模拟随机游走序列的自相关关函数图62二、MA（q）的自相关函数结论：MA（q）模型的自相关函数q阶截尾，即在q+1及以后为零。图2-7是模拟一阶移动平均模型趋势图，图2-8是自相关函数图62图15趋势图62图16自相关函数图62由此，我们已经有了识别MA（q）模型的工具，

8、自相关函数q阶截尾。但是