平稳时间序列分析-ARMA模型学习资料.ppt

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1、平稳时间序列分析-ARMA模型一、AR模型(AutoRegressionModel)具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型（一）AR模型定义AR(P)序列中心化变换对于非中心化序列作变换则原序列即化为中心化序列所以，以后我们重点讨论中心化时间序列。AR模型的算子表示令则模型可表示为（二）AR模型平稳性判别判别原因：AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的。判别方法：特征根判别法，平稳域判别法。例3.1:考察如下四个模型的平稳性例3.1平稳序列时序图例3.1非平稳序列时序图从时序图上可以看出，（1）（3

2、）模型平稳，（2）（4）模型非平稳。（三）AR模型平稳性常用判别方法特征根判别平稳域判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内。根据特征根和算子多项式的根成倒数的性质，AR(p)模型平稳的充要条件是该模型的算子多项式的根都在单位圆外。平稳域为：（四）两个常见模型的平稳性条件1、AR(1)模型平稳条件特征根为，平稳条件平稳域为AR(1)模型的平稳性条件也可以如下讨论：对1阶自回归模型AR(1)方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差：由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t)=0。如果该模型稳定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上

3、式可变换为：在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有

4、

5、<1。而AR(1)的算子多项式方程：的根为z=1/AR(1)稳定，即

6、

7、<1，意味着特征根大于1。2、AR(2)模型平稳条件特征根为由知等价于平稳域2+1=-12+(1+2)=1–(1-1)(1-2)2-1=-12-(1+2)=1–(1+1)(1+2)无论1,2为实数或共轭复数，由1<1,2<1都有(11)(12)>0，从而得2+1<12-1<1且-1<2<1事实上，由于平稳域是一个三角形区域。见下图阴影部分。平稳AR(2)过程

8、1,2取值域（阴影部分）回归参数2，1的取值变化分三种情形讨论。（1）当12+42=0时，特征方程有相等实数根。2,1取值在图中的抛物线上，称为临界阻尼状态。(2)当12+42>0时，特征方程有不等实数根。2,1的值位于过阻尼区（自相关函数呈指数衰减）。(3)当12+42<0时，特征方程根为共轭复根。2,1的值位于欠阻尼区（自相关函数呈正弦震荡衰减）。AR(2)模型的平稳性也可以如下讨论：对AR(2)模型：方程两边同乘以Xt，再取期望得：又由于：于是：同样地，由原式还可得到：于是方差为：由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，

9、于是有1+2<1,2-1<1,

10、2

11、<1对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：(1)AR(p)模型稳定的必要条件是：(2)由于可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是：例3.1平稳性判别模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳（三）平稳AR模型的统计性质1、均值如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且为白噪声序列，有推导出（1）Green函数定义2、方差将平稳的AR(p)模型表示成如下的传递形式其中系数称

12、为Green函数求Green函数递推公式由待定系数法可得如下递推公式（2）平稳的AR(p)模型的方差由平稳AR模型的传递形式两边求方差得例3.2:求平稳AR(1)模型的方差平稳AR(1)模型的传递形式为Green函数为平稳AR(1)模型的方差为也可用以下方法计算将原过程改写为所以3、自协方差函数在平稳AR(p)模型两边同乘，再求期望根据得自协方差函数的递推公式例3.3:求平稳AR(1)模型的自协方差函数递推公式：平稳AR(1)模型的方差为自协方差函数的递推公式为：例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差利用其中所以，平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为4、

13、自相关系数（1）自相关系数的定义：特别（2）平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式：上述方程称为Yule-Walker方程。（3）常用AR模型自相关系数递推公式AR(1)模型AR(2)模型说明：在AR(1)模型中，即使没有直接出现在模型中，和也是相关的。因为所以，是通过与相关的，这种间接相关出现在任何AR模型中。与的自相关系数等于与的自相关系数乘以与的自相关系数。即5、平稳AR(p)模型自相关系数的性质（1）拖尾性（2）呈负指数衰减拖尾性说明之前的每一个序列值都会对构成影响，但因为自相关系数呈负指数衰减，所以，间隔较远的序列值对现时值的影响很小，具有所谓的“

14、短期相关性”。例3.5:考察如下AR模型的自相关图例