9数列交汇题剖析

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1、万方数据上海中学数学·2008年第4期数列交汇题剖析215600江苏省张家港市外国语学校戈永石高中数学内容几经改革，有增有删．数列作为一个知识点从未出局，足见其重要性和必要性．由于它能与函数、三角、解几以及新兴的概率、向量、导数等知识有机地综合到一起，形成新颖别致的数列交汇题。本文拟根据近几年的高考题及高考模拟题进行分类解析，意在探索此类题型的解题规律，揭示解题方法．1．数列与概率交汇题例l有人玩掷硬币走跳跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是÷，棋盘上标有第。站、第1站，⋯，第100站，一枚棋子开始在第。站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次．若掷出正面，棋子向前跳一站(

2、从足到七十1)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从忌到志+2)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)，或第100站(失败集中营)时游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P。．(1)求Po，P1，P2的值；(2)求R的表达式．解析：(1)Po一1，P1一÷，P2一÷Po+丢P·一号．(2)棋子跳到第竹站(2≤咒≤99)的情况有且只有两种，①棋子先跳到第行一2站，掷出反面．②棋子先跳到第咒一1站，掷出正面．所以P“=寺P，r1+寺P，r2(1)，设(1)可变形为R一印，1=(寺一z)(P，r1一妒，r2)．还原并与原式对照得一(寺一zk=÷，解之得：z一1或z=一÷．取z一1，所以P。一

3、P，r1=一÷(P，1一P，2)；通过累加得P。=÷+专(一专)，因为到第99站就不需要再跳了，因此第100站的概率不能用这个公式计算．要到第100站必须原来的第98站且掷出反面，所以P。f三一_土f一上1”的通项公式为P。一{；：；：；：。。．【了十百＼一虿，评析：本题虽然以概率的面貌出现的，但究其实质还是一个数列题，解题的关键是找出递1推关系P。=÷P，卜1+÷P，2，并掌握此类求通厶项公式的办法，当然还应注意到数列的两个极端情形——首项与末项．2．数列与排列组合的交汇题例2一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为咒(咒≥3，”∈N’

4、)等分，种植红、蓝、绿三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，(1)如图l圆环分成3等分为口l'n2，口3，有多少种不同的种植方法?(2)如图2，圆环分成挖等分为口1，口2，口3，⋯，口。，有多少种不同的种植方法?图1图2解析：(1)N=Ai；6．(2)设分成n等份的种植方法为S。种，则口1有3种种植方法，n2有2种种法，口3有2种种法，⋯，口，r1有2种种法，口。按理也有2种种法，但这2种种法中可能有1种与口1重复，若与口l重复，可看作分成咒一1个部分时的种植方法有S，l，所以S。一3·2—1一S一1．通项S。=2“一2(一1)，r3．评析：本题是有限区域无限分割问

5、题．关键也是找到递推关系，在递推关系的处理中要抓住从一个固定的大范围中逐步分割出一个小范围的方法，分割时要注意固定顺序．因此要特别关注定序思想在解题中的应用．3．数列与不等式的交汇题例3已知函数厂(z)定义在[o，1]，且同时满足：①，(1)一3；②，(z)≥2；③若z1≥o，z2≥O，z1+z2≤1，则有，(zl+z2)≥，(z1)+，(z2)一2．(1)求函数，(z)的最大值和最小值；万方数据上海中学数学·2008年第4期(2)试比较厂(去)与刍+2的大小(卵∈N)；(3)某人发现：当z一去(，2∈Ⅳ)时，有，(z)<2z+2，由此他提出猜想：对于一切z∈(o，1]，都

6、有，(z)<2z+2，请你判断猜想是否正确，并说明理由．解析：(1)略．(2)由(1)易知，(z)是增函数，令z1=z2一南，则z-+zz一刍，所以，(刍)≥，(赤)+，(丢告)一2，所以，(去)一2≥2[，(杀b)一2]，令口。一，(者)一2，则口。≥2n抖l，所以口。≤÷口。一1，(咒≥1)，即n。≤(÷)n[，(1)一2]一(号)n；所以，(刍)一2≤(丢)n，所以厂(去)≤2+(抄．(3)对于任意z∈(o，1]，总存在行∈N，使得慕F『2·六+2=刍+2．所以，(z)<2z+2．评析：本题的关键是

7、要寻找，(去)与，(募矗)之间的递推关系，首先寻找嘉与去之间的关系，它们的关系一般能想到两种寺一孬b×2和去=虿导+矛导；由已知条件(1)知这里只要用“+”而不用“×”，所以选用后一式探求递推关系．对于(3)是要学会用公比在(o，1)之问的等比数列将一个固定区间切分成互斥(交集是空集，并集是全集)的数集进行研究，体现了要研究整体先研究部分的思想方法，这也是高等数学的常用研究方法．4．数列与解几的交汇题例4已知一列椭圆c。：z2+缶一1，o<口芄“<1，，z一1，2，⋯．若椭圆C。上有一点P。，使R到右准线z。的距离