二数学竞赛试题

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1、数学联赛试题考生注意：本卷共三大题（18个小题），全卷满分150分，考试时间为120分钟．一、选择题（本大题共有8小题，每小题6分，满分48分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．）1．设，若，且，则下列结论中，一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）2．设是椭圆（>>0）的长轴，若把线段100等分，过每个分点作的垂线，交椭圆的上半部分于，为椭圆的左焦点，则的值是（）（A）98（B）99（C）100（D）1013．一个球与正四面体的六条棱都相切，正四面体的棱长为a，则球的体积是（）（A）（B）（C）（D）4．已知，，映射：，若当时，为奇

2、数，这样的映射的个数为（）（A）32（B）24（C）20（D）125．点是直线上一点，且在第一象限，点的坐标为（3，2），直线交轴正半轴于点，那么三角形面积的最小值是（）（A）（B）（C）（D）6．满足a>b>2且使ab、、a—b、a+b可以按照某一顺序排列，构成一个等比数列的实数对（a，b）（）（A）不存在（B）恰有1个（C）恰有2个（D）至少有3个7．方程的解集为（其中是无理数，=2.71828…，为实数）则中所有元素的平方和等于（）（A）0（B）1（C）2（D）48．已知方程组，对该方程组的每一组正实数解，其中，都存在正实数，满足，则的最大值是（A）1（B）（C）（D）二、

3、填空题（本大题共有6小题，每小题6分，满分36分，要求直接将答案写在横线上．）9．在正△中，、分别是、的中点，则以、为焦点且过点、的双曲线的离心率是．10．设，其中为常数．如果，，，那么的值是．11．对所有，使不等式成立的最大正整数是．12．满足方程，且的所有正整数解为.13．递增的正整数数列，满足，，则的值是．14．一个圆柱体可以放在一个棱长为1高二数学竞赛·第5页共5页的正方体内部，使得该圆柱体的中轴线与该正方体的一条体对角线重合，则此圆柱体的体积的最大值为．三、解答题（本大题共4小题，满分66分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分15分）把

4、关于的多项式表示为两个次数不同的实系数多项式的平方差的形式．16．（本小题满分15分）已知函数，设集合，集合，且，求实数的取值范围．高二数学竞赛·第5页共5页17．（本小题满分18分）已知曲线，，为正常数．直线与曲线的实轴不垂直，且依次交直线、曲线、直线于、、、4个点，为坐标原点．（1）若，求证：的面积为定值；（2）若的面积等于面积的，求证：．AxyOBCD18．（本小题满分18分）在中，AP平分，AP交BC于P，BQ平分，BQ交CA于Q，已知，且AB+BP=AQ+QB，求各内角的度数的可能值．高二数学竞赛·第5页共5页参考答案一选择题：（本大题共有8小题，每小题6分，满分48分

5、．）题号12345678答案DDCAABCC二、填空题(本大题共有6小题，每小题6分，满分36分．)9．；10．28；11．3；12．（2，5，10），（2，4，20）；13．194；14．三、解答题（15、16题每题15分，17、18题每题18分）15．设，由题意，为二次多项式，的次数低于2次，故可设，，，上式为完全平方式，得，得，故可得：。16．由得：，设，则必有，故；又中元素为方程的实根，整理得：，由知，上式含有因子，由辗转相除法或待定系数法可知上式可因式分解为，要使，方程无实根或实根为的实根，分别讨论得。17．解：（1）设直线：代入得：，得：，设，，则有，，设，，易得：，

6、，由得，故，代入得，整理得：，又，，，=为定值。（2）设中点为，中点为则，，所以，、重合，从而，从而，又的面积等于面积的，所以，从而。18．解：设Δ三边长为，考虑到，∴，∴=高二数学竞赛·第5页共5页，又平分∠ABC，∴，，∴，同理又由余弦定理知，，，∴，，∴，解之得：或，∴或=120°，∴或=120°，=2或=120°若=2时，=30°，=100°，=50°；若=120°时，=30°，=120°，=30°高二数学竞赛·第5页共5页