三角函数图象性质有关问题解法

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1、函数有关问题解法形如的函数是一类比较重要的函数，三角中不少问题与此类函数有关，在物理和工程技术方面应用也比较广。初学者往往对这类函数的问题感到无从下手。现行教材中，主要研究了它的周期性、值域（最值）和图象作法，是在正弦函数的有关性质和图象的基础上，利用换元转化的思想方法进行研究的，这实质上就是解决此类函数有关问题的基本思想方法。下面举例说明这一方法的应用。（约定）首先就A、ω都是正数情况加以讨论。例1．已知函数，求：（1）函数的最小正周期；（2）函数的最小值，并写出相应x的集合；（3）函数的单调减区间。解：原函数可化为（1）T

2、=（2）由得即此函数的最小值是-1，此时x的集合为{x

3、,}（3）由得函数的单调减区间为例2．当时，求函数的值域。解：知由正弦函数的图象知f(x)的值域为例3．函数在区间[a,b]上是增函数，且,,则函数在区间[a,b]上A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值D．可以取得最小值解：此问题等价于已知在上的单调性和最值，判断在的性质。由正弦函数与余弦函数图象在上的部分易知C正确。由正弦函数的性质和图象知，直线是正弦曲线的对称轴；点是它的对称中心。由此知的对称轴方程为，对称中心为。例4．（1）函数图象的一条对称轴方程为A．x=0

4、B．C．D．解：由得故选B（2）已知为奇函数，则=解：因为的对称中心为，又为奇函数，知（0，0）是它的对称中心，即x=0是方程的解，可得（3）已知的图象关于直线对称。则a=解：函数可化为其中由为此函数图象的对称轴方程得又即a=-1函数（图象上的点（x,y）与正弦函数图象上的点（X，Y），可以建立一一对应关系，其中。课本上此类函数图象的“五点法”作图实质上就是利用了这一对应关系。已知此类函数图象上的一些点的坐标，求解析式的问题，可利用这一对应关系加以解决。由于值的多值性，由上面对应关系，具体解法可概括为：选取图象与x轴的交点，使

5、之与y轴距离最近，且在右侧附近图象上升。使它与正弦曲线上的点（0，0）对应，顺次建立其它点的对应关系加以求解。例5．（1）已知函数（的图象在y轴右侧的第一个最高点为与x轴在原点右侧的第一个交点为（6，0）求这个函数的解析式。解：由题意得（2）如图为函数（图象的一部分，求函数解析式。解：由图知解之得（3）如图是函数（的图象，则A．B．C．D．解：由图得得应选C。对于A、中至少有一个是负数的情况，可以利用诱导公式转化为以上类型解决。形如的有关问题也可用类似方法解决。例6．求函数的单调减区间。解：法1：函数可化为知所求为的单调增区间

6、。由得即此函数的单调减区间为法2：函数可化为由得即此函数的单调减区间为例7．求函数的单调增区间。解：由得即此函数的单调增区间为