抛物线与平行四边形 (2)

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1、（2015•开县模拟）如图，在直角坐标系中，A点在x轴上，AB∥y轴，C点在y轴上，CB∥x轴，点B的坐标为（8，10），点D在BC上，将△ABD沿直线AD翻折，使得点B刚好落在y轴的点E处．（1）求△CDE的面积；（2）求经过A、D、O三点的抛物线的解析式；（3）点M是（2）中抛物线上的动点，点N是其对称轴上的动点，问是否存在这样的点M和点N，使得以AEMN为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点和N点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．菁优网版权所有分析：第4页（共4页）（1）求三角形面积首先要知道，其高和底．

2、因为翻转，则DB=DE，BA=EA，观察图形，易发现直角三角形AOE其中两边边长已知，所以可求OE，进而可求CE．而此时若设CD为x，则直角三角形CDE中三边都可表示出来，那么由勾股定理得方程，解得即可得各边边长，从而三角形面积易求．（2）由（1）可得D点坐标，则知三点求过其抛物线解析式用待定系数法即可．其中因为A，O都为其与x轴的两交点，所以解析式设为y=a（x﹣8）（x﹣0），计算会简单很多．（3）AE为平行四边形一条边时，可以存在满足条件的点M、N，向上平移AE不存在，向下平移AE即可得到，线段AE与抛物线即抛物线的对称轴分别交于点M

3、、N，通过三角形全等可得M（﹣4，﹣16/3）N（4，﹣34/3），M（12，﹣32）N（4，﹣26）M（4，32/3）N（4，﹣14/3）．解答：解：（1）如图，∵点B的坐标为（8，10），∴BC=OA=8，BA=10，∵将△ABD沿直线AD翻折，使得点B刚好落在y轴的点E处，∴EA=BA=10，第4页（共4页）∴在Rt△OAE中，OE===6，∴CE=OC﹣OE=4，在Rt△CDE中，设CD=x，则ED=DB=8﹣x，∵DE2=CD2+CE2，∴（8﹣x）2=x2+42解得x=3，即CD=3，∴=6（2）∵A（8，0），O（0，0）∴设

4、抛物线的解析式为y=a（x﹣8）（x﹣0），∵D（3，10）过抛物线，∴10=a（3﹣8）（3﹣0），解得a=﹣，∴y=﹣（x﹣8）（x﹣0）=﹣x2+x．（3）答：M（4，），N（4，第4页（共4页））或M（12，﹣32）N（2，﹣26）或M（﹣4，﹣32）N（4，﹣38）．点评：本题主要考查了翻折图形的性质、解直角三角形，利用待定系数法求解抛物线及平行四边形相关判断，是一道非常基础、常规的综合型题目．第4页（共4页）