全等—辅助线

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1、全等三角形辅助线的作法（一）【直接连线构造全等】例1：如图所示，AC、BD相交于O点，且AB=DC,AC=BD.求证：∠A＝∠D【截长补短造全等】一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例2．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 　　　　　　　　　　　　　　【中线倍长造全等】三角形问题中涉及中线（中点）时，将三

2、角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．例3．已知三角形的两边AB、AC长分别为7和5，求中线AD的取值范围．　【作平行线构造全等】当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件．例4．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF． 【作垂线构造全等】例5.如图，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直

3、角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC=PD．【补全图形造全等】在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决． 例6．如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长． 【利用角的平分线对称构造全等】角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称

4、构造出全等三角形是常用的证明方法． 例6．如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．证明：AD=CD． 【利用中点造全等】例7.如图所示，AB＝DC，∠A＝∠D。求证：∠ABC＝∠DCB.练习1、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．2、如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）。3、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°．4、如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠C

5、AB、∠DBA，CD过E点，求证：AB=AC+BD5、如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）DM⊥AM．6、已知：如图，在△ABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？7、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点0.求证：OE=OD8、已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DE∥BA交AE与点F，DF=FC。求证：AE平分角∠BAC。9、

6、已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE。10、如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BD于E．求证：BD=2CE．11、如图，已知△ABC中AB＞AC，P是角平分线AD上任一点。求证：AB-AC＞PB-PC．