2.1.3《推理案例赏析》习题

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1、2-1-3《推理与证明》习题2.1.3　推理案例赏析双基达标　(限时15分钟)1．下面几种推理是合情推理的是__________．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)×180°.解析　①是类比推理，②④是归纳推理．答案　①②④2．观察以下不等式：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，由以上各式归纳可得出的一般结论为________

2、．答案　1＋＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)3．已知圆的方程为x2＋y2＝a2，则圆的面积为πa2.类比上述结论，可得椭圆的类似结论为________________．答案　椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆的面积为πab4．已知{bn}为等比数列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．解析　b＝b1b9＝b2b8＝b3b7＝b4b6，在等差数列中2a5＝a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6，所以有a1＋a2＋…＋a9＝2×9.答案　a1＋a2＋…＋a9＝2×95．f(n)＝1＋＋＋

3、…＋(n∈N＋)．计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有__________．解析　f(21)＝，f(22)>2＝，f(23)>，f(24)>即f(2n)≥.答案　f(2n)>6．如图所示，在三棱锥SABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．解　在△DEF中，由正弦定理，得＝＝.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想＝＝

4、成立．7．如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝________.解析　由题意，得b2＋c2＋c2＝(c＋a)2，即c2－ac－a2＝0，所以e2－e－1＝0，又e>1，解得e＝.答案　8．下列图形中的线段有规则地排列，猜出第6个图形中线段的条数为__________．解析　第1个图只有一条线段，则第2个图比第1个图增加4条线段，即线段上的端点上各增加2条，第3个图比第2个图增加8条线段，第4个图比第3个图增加2×8＝24条线段，则第6个图中线段数为1＋22＋23＋24

5、＋25＋26＝125.答案　1259．设题中字母均为正数，由下列恒等式：①a·＝1；②(a＋b)≥4；③(a＋b＋c)≥9.可以归纳出的一般结论是______________．答案　(a1＋a2＋…＋an)≥n2(ai∈R＋，i＝1，2，…n)10．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________________________②，②式可

6、以用语言叙述为：_____________.解析　半径为R的球，体积V(R)＝πR3，表面积S＝4πR2，则′＝4πR2.答案　′＝4πR2　球的体积函数的导数等于球的表面积函数11．观察①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.②tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．解　观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为α＋β＋γ＝且α，β，γ都不为kπ＋(k∈Z)，则tanαtan

7、β＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.证明：①γ＝0时，等式显然成立．②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝，得α＋β＝－γ，所以tan(α＋β)＝.又因为tan(α＋β)＝，所以tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝(1－tanαtanβ)，所以tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝tanαtanβ＋tanγ(tanα＋tanβ)＝tanαtanβ＋tanγ··(1－tanαtanβ)＝1.综上所述，等式成立．12．观察下列算式，猜测此表提供的一般法则，用适当的数学式子表示，并加以证明．1＝1，3＋5＝8，7＋9