第1章《常用逻辑用语-1.3.2 含有一个量词的命题的否定》导学案

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1、第1章《常用逻辑用语-1.3.2》导学案教学过程一、问题情境对于下列命题:(1)所有的人都喝水；(2)存在有理数x，使x2-2=0；(3)对所有实数a，都有

2、a

3、≥0.问题1　上述命题属于什么命题？[1]解　都是含有量词的命题，(1)(3)是全称命题，(2)是存在性命题.问题2　试对上述命题进行否定，你发现有何规律？[2]解　命题(1)的否定为“并非所有的人都喝水”，换言之为“有的人不喝水”.命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变为“否定”.命题(2)的否定为“并非存在有理数x，使x2-2=0”，即“对所有的有理数x，x2-2≠0”.命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变

4、为“否定”.命题(3)的否定为“并非对所有的实数a，都有

5、a

6、≥0”，即“存在实数a，使

7、a

8、<0”.二、数学建构一般地，“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，?p(x)”，“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，?p(x)”.三、数学运用【例1】　(教材第15页例1)写出下列命题的否定:(1)所有人都晨练；(2)∀x∈R，x2+x+1>0；(3)平行四边形的对边相等；(4)∃x∈R，x2-x+1=0.(见学生用书P11)[处理建议]　允许学生写出不同的否定形式，但最后要求学生统一到常见的格式.[规范板书]　解　(1)“所有人都晨练”的否定是“有的人不晨练”；(2)“∀x∈R，

9、x2+x+1>0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≤0”；(3)“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等，它的否定是“存在平行四边形，它的对边不相等”；(4)“∃x∈R，x2-x+1=0”的否定是“∀x∈R，x2-x+1≠0”.[题后反思]　含有量词的命题的否定应该有统一的形式.【例2】　写出下列命题的否定:(1)实数的绝对值是正数；(2)矩形的对角线互相垂直.(见学生用书P12)[处理建议]　引导学生首先将命题写成含有量词的形式.[规范板书]　解　(1)命题“实数的绝对值是正数”可改写成“所有实数的绝对值都是正数”，此命题是全称命题，所以此命题的否定为“存在一个实数

10、的绝对值不是正数”.(2)命题“矩形的对角线互相垂直”可改写成“所有矩形的对角线都互相垂直”，此命题是全称命题，所以此命题的否定为“存在一个矩形，它的对角线不互相垂直”.[题后反思]　对表面上不含有量词的命题的否定，首先根据命题中所叙述的对象的特征，挖掘其隐含的量词，确定它是全称命题还是存在性命题.【例3】　写出下列命题的否定:(1)若xy=0，则x=0或y=0；(2)若x2+y2=0，则x=0，y=0.(见学生用书P12)[处理建议]　由学生列出所有可能情况，理解命题的否定的写法.[规范板书]　解　(1)命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否定为“若xy=0，则x≠0且y≠0”；

11、(2)命题“若x2+y2=0，则x=0，y=0”的否定为“若x2+y2=0，则x≠0或y≠0”.[题后反思]　“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”.*【例4】　(1)写出命题p“偶数能被4整除”的否定形式“?p”，并判断“?p”的真假；(2)将命题“偶数能被4整除”改写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的否命题，并判断否命题的真假.[处理建议]　注意“命题的否定”和“否命题”是两个不同的概念.[规范板书]　解　(1)命题p“偶数能被4整除”可写成“所有的偶数都能被4整除”，此命题是全称命题，所以此命题的否定“?p”为“存在一个偶数不能被4整除”，它是真命题.(2)命题“

12、偶数能被4整除”可写成“如果一个数是偶数，那么它能被4整除”，所以此命题的否命题为“如果一个数不是偶数，那么它不能被4整除”，它是真命题.[题后反思]　“命题的否定”是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假；而否命题和原命题可能同真同假，也可能一真一假.四、课堂练习1.写出下列命题的否定:(1)∃x∈R，使得2x2-1<0；(2)有的三角形的外心在三角形外部；(3)有一个素数是偶数；(4)在实数范围内，有些一元二次方程无解.解　(1)∀x∈R，都有2x2-1≥0；(2)任意一个三角形的外心都在三角形内部；(3)每一个素数都不是偶数；(4)在实数范围内，所有的一元二次方程都有解.

13、2.写出下列命题的否定:(1)∀x∈Z，x2的个位数字不等于3；(2)三角形的两边之和大于第三边；(3)存在实数x，使lgx<1；(4)和为0的两个实数互为相反数.解　(1)∃x∈Z，x2的个位数字等于3；(2)存在这样的三角形，它的两边之和不大于第三边；(3)对任意的实数x，都有lgx≥1；(4)存在和为0的两个实数不互为相反数.五、课堂小结1.全称命题的否定:全称量词变存在量词，肯定变否定.2.存在性命题否定:存在量词变全称量词，肯定变否定.