2018版高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.3.2 含有一个量词的命题的否定学案 苏教版选修2-1

《2018版高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.3.2 含有一个量词的命题的否定学案 苏教版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1．3.2　含有一个量词的命题的否定[学习目标]　1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点一　全称命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定非p：∃x∈M，非p(x)．知识点二　存在性命题的否定存在性命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定非p：∀x∈M，非p(x)．知识点三　全称命题与存在性命题的关系全称命题的否定是存

2、在性命题．存在性命题的否定是全称命题．思考　(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？(2)对省略量词的命题怎样否定？答案　(1)不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或存在性命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在性命题．反之，亦然．题型一　全称命题的否定例1　写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的

3、对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解　(1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)是全称命题，其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．(3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在．(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.反思与感悟　全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定

4、．跟踪训练1　写出下列全称命题的否定：(1)每一个四边形的四个顶点共圆；(2)所有自然数的平方都是正数；(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)对任意实数x，x2＋1≥0.解　(1)非p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(2)非p：有些自然数的平方不是正数．(3)非p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．(4)非p：存在实数x，使得x2＋1<0.题型二　存在性命题的否定例2　写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有些素数

5、是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形．解　(1)非p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假)．(2)非p：所有的素数都不是奇数．(假)．(3)非p：所有的平行四边形都是矩形．(假)．反思与感悟　存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒非p：∀x∈M，非p(x)成立．跟踪训练2　写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.解　(1)命题

6、的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．题型三　存在性命题、全称命题的综合应用例3　已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实

7、数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．解　(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.∴所求实数m的取值范围

8、是(4，＋∞)．反思与感悟　对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素．一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.跟踪训练3　已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R)．(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．(1)证明　当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，∵Δ＝36－4×(