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1、单元3线段的垂直平分线（1）课前预习(该部分要求同学们首先预习本课知识的基础上完成下面的问题)1．△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有（）A．AB=ACB．AB=BCC．AC=BCD．∠B=∠C2．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于点E，如图所示，若△ABC与△BEC的周长分别为30cm和18cm，则△ABC的腰长为。3．△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则△ABC的底角∠B为。4.△ABC中,如果AB=AC,AB的垂直平分线交BC于边的延长线于M,交AB边于N
2、,且∠CAB=42°,则∠NMB的度数为______。5.“全等三角形的面积相等”的逆命题为________________________它是一个_______命题（填真或假）典型例题分析：例1：已知：图1-3-1，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.ABCDEF1-3-1求证：AD垂直平分EF.[点拨]由角平分线的性质可以得到DE=DF，则点D在线段EF的垂直平分线上，但是此时还不能得到AD垂直平分EF的结论，还需要进一步证明点A也在EF的垂直平分线上才行，而这可以由△AED≌△AFD得到.证明：∵AD是∠
3、BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，点D在线段EF的垂直平分线上∵∠DEA=∠DFA=90°，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴A也在EF的垂直平分线上，∴AD是EF的垂直平分线.例2：已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB。求证：P点在AB的垂直平分线上。[点拨]1-3-2ABACP证明：证法一如图1-3-2:过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA=PB，PC=PC。∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上。证法二：如图1-3-3取胜AB的中点C，过P
4、C作直线。∵AP=BP，PC=PC，AC=CB，∴△APC≌△BPC（SSS）.P∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)又∵∠PCA+∠PCB=180°,1-3-3∴∠PCA=∠PCB=90°,即PC⊥AB.ACB∴P点在AB的垂直平分线上.1-3-412PABC证法三:如图1-3-4过P点作∠APB的角平分线,∵AP=BP,∠1=∠2,PC=PC,∴△APC≌△BPC(SAS).∴AC=BC,∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等,对应边相等).又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=90°.∴P点在线段AB的垂
5、直平分线上.例3：（1）在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M,∠A=40°，求∠NMB的大小；（2）如果将（1）中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小。（3）你发现了什么样的规律？试证明之；（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改。[点拨]:由（1）、（2）不难认识到∠BMN的大小是∠A的一半，但也容易认为点M一定在BC的延长线上，通过（4）也就是让△ABC保持AB=AC的前提下发生变化，认识就会更全面、更准确了。解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB（等边对
6、等角）∴∠B∠A）=.∵∠BNM=90°，∴∠M=90°－∠B=90°－70°=20°[如图（1）]（2）2如同（1）求得∠BMN=35°.（3）如图（3），∠NMB的大小为∠A的一半。证明：设∠A=α.∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）.∴∠B=.∵∠BNM=90°，∴∠BMN=90°－∠B=90°－，即∠BMN等于顶角的一半.ANABAMACcAAAM40°NNBCBCM（4）完整的叙述上述规律为：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半。基础训练：一、选择题（本大题共3小题，在每小题给出的四个
7、选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1.△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有（）A．AB=ACB．AB=BCC．AC=BCD．∠B=∠C2.△ABC中，边AB、AC的中垂线交于点O，则有（）A．O在△ABC内部B．O在△ABC的外部C．O在BC边上D．OA=OB=OC3.点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（）A．BC的中线上B．BC边的垂直平分线上C．BC边的高线上D．∠A的平分线所在的直线上二、填空题（本大题共3小题，请把正确答案填在题中的横线上）4.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB
8、于D，交AC于点E，如图所示，若△ABC与△BEC的周长分别为30cm和18cm，则△ABC的腰长为。5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交CB
