《导数及其应用》解答题(二)

《《导数及其应用》解答题(二)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2009年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编《导数及其应用》解答题（二）55.已知函数在处取得极值2.（1）求函数的表达式；（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？（3）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点，求直线的斜率的取值范围。解：（1）因而函数在处取得极值2所以所以为所求••负正负（2）由（1）知可知，的单调增区间是所以，所以当时，函数在区间上单调递增（3）由条件知，过的图形上一点的切线的斜率为：令，则,此时，根据二次函数的图象性质知：当时，当时，所以，直线的斜率的取值范围是56.

2、已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（1）用表示，并求的最大值；（2）求证：（）．解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．（Ⅱ）设则．故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．故当时，有，即当时，．57.已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．（1）求函数的另一个极值点；（2）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范

3、围．解：（Ⅰ），由题意知，即得，（*），．由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）．（Ⅱ）由（*）式得，即．当时，；当时，．（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数．，，由及，解得．（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数．，恒成立．综上可知，所求的取值范围为．58.设函数．（1）令，判断并证明在（-1，+∞）上的单调性，求；（2）求在定义域上的最小值；（3）是否存在实数、满足，使得在区间上的值域也为？解：（1）当时，，所以在（-1，+∞）上是单调递增，。（2）的定义域是（-1，+∞），，当时，<0

4、,∴，当时，>0,∴，∴在（-1，0）上单调递减，在（0,+∞）上，单调递增。∴（3）由（2）知在上是单调增函数。若存在满足条件的实数、，则必有，。也即方程在上有两个不等的实数根、，但方程即为只有一个实数根，∴不存在满足条件的实数、。59.设函数,．(是实数,为自然对数的底数)（Ⅰ）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（Ⅱ）若直线与函数,的图象都相切,且与函数的图象相切于点,求的值；（Ⅲ）若在上至少存在一点，使得成立，求的取值范围．解：（Ⅰ）∵，要使为单调增函数，须恒成立，即恒成立，即恒成立，又

5、，所以当时，在为单调增函数．要使为单调减函数，须恒成立，即恒成立，即恒成立，又，所以当时，在为单调减函数．综上所述，在为单调函数，的取值范围为或．（Ⅱ）∵，∴．设直线,∵与图象相切,∴得,即，当时，方程无解；当时由，得．综上，（Ⅲ）因在上为减函数，所以①当时，由（Ⅰ）知在上递减，不合题意．②当时，由（Ⅰ）知在上递增，，又在上为减函数，故只需，，即：．③当时，因，[1，]所以不合题意．综上，的取值范围为．60.已知函数（I）若当的表达式；（II）求上是单调函数。解：（I）单调递减，所以取最大值（1）解

6、得符合题意（2）解得舍去（3）解得舍去综上（II）（1）所以上单调递减（2）上不单调，综上61.已知函数，点.（Ⅰ）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围；（Ⅱ）当时，对任意的恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，证明：直线与直线不可能垂直.解：（Ⅰ）当时，在上递增，在上递减，所以在0和2处分别达到极大和极小，由已知有且，因而的取值范围是.（Ⅱ）当时，即可化为，记则记则，在上递减，在上递增.从而上递增，因此故（Ⅲ）假设⊥，即=故，由，为(x)=0的两根

7、可得，从而有即≥2，这与<2矛盾.故直线与直线不可能垂直.62.已知定义在R上的函数，当时，取得极大值3，.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）已知实数能使函数上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数组成的集合为M.请判断函数的零点个数.解：（1）由得c=1，，得∴（2）得，时取得极值.由，得∴，，，∴当时，，∴在上递减.又∴函数的零点有且仅有1个63.已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直.（Ⅰ）若，试求函数的单调区间；（Ⅱ）若，且函数在上单调递增，试求的范围.解：（Ⅰ）因为的图象过点，所以又，且

8、在点处的切线与直线垂直.所以，且，所以所以令显然当或时，；当时，.则函数的单调增区间是，函数的单调减区间是.（Ⅱ）令，得.因为，所以当或时，，即函数的单调增区间是.所以又由（Ⅰ）知：，所以所以64.已知函数(1)若在处取得极值，求ａ的值；(2)讨论的单调性；(3)证明：为自然对数的底数）解：（1）一个极值点，则，验证知a=0符合条件…………………….3分（2）1）若a=0时，单调递增，在单调递减；2）若上单调递减…………………………………6分3）若再令在综上所述，若上