主干知识解答题强化训练—函数导数及其应用

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1、1.已知函数，（其中实数a，b为常数）(Ⅰ)若a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“”发生的概率；（Ⅱ)若是R上的奇函数，是在[-1，1]上的最小值，求当

2、a

3、≥1时，的解析式；（Ⅲ)的导函数为，当a=1时，对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使得=，求实数b的取值范围.1.解：(Ⅰ)(a，b)的取值共有9种：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，其中满足的有6种：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，故事件A的概率为；（Ⅱ)∵是奇函数，∴，∴，，当a≥1时

4、，∵x∈[-1，1]，∴，在[-1，1]上递减，，当a≤-1时，，在[-1，1]上递增，，∴（Ⅲ)当a=1时，，，问题等价于在[0，2]上的值域包含于在[0，2]上的值域.显然在[0，2]上的值域是[-1，3].而时，，时，，∴在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，有最小值，又<，∴在[0，2]上的值域为[，]，由[，]Í[-1，3]得：且，故a的取值范围是.2.设函数=（为自然对数的底数），，记．（Ⅰ）为的导函数，判断函数的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若函数=0有两个零点，求实数的取值范围．2.解：（Ⅰ），∴，令，则，∴在上单调递增，即在上单调递增．…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上单

5、调递增，而，∴有唯一解，…………8分的变化情况如下表所示：x0－0＋递减极小值递增………………………………10分又∵函数有两个零点，∴方程有两个根，即方程有两个根………12分而，，解得．所以，若函数有两个零点，实数a的取值范围是（0，2）……14分3．（本小题满分14分）已知函数（I）当时，（i）求函数的单调区间，并说明其单调性；（ii）对于，函数是否一定存在零点？请说明理由；（II）当a=1时，若对于任意正实数b，关于x的不等式上恒成立，求实数m的取值范围。3．解：（I）（i），…………2分（ii）由（i）知…………6分由于故且，故故当且仅当无零点。…………8分（II）由题意得上恒成

6、立，在上是增函数，在上是减函数…………………………9分(1)当即在上是减函数，故………………………………………………10分（2）当，上是减函数，又故①当……………………………11分②当…………………………………12分（3）当综上，当………………13分故当…………14分又因为对于任意正实数b，不等式4.(本小题14分)已知函数．(Ⅰ)若为的极值点，求实数的值；(Ⅱ)若在上为增函数，求实数的取值范围；(Ⅲ)若时，方程有实根，求实数的取值范围．4.解：（Ⅰ）∵为的极值点，∴，∴且，∴.又当时，，从而为的极值点成立。（Ⅱ）因为在上为增函数，所以在上恒成立.若，则，∴在上为增函数不成立；若，由对

7、恒成立知。所以对上恒成立。令，其对称轴为，因为，所以，从而在上为增函数。所以只要即可，即所以又因为，所以．（Ⅲ）若时，方程可得即在上有解即求函数的值域．法一：，令由（）∴当时，，从而在(0，1)上为增函数；当时，，从而在(1，+∞)上为减函数。∴，而可以无穷小。∴的取值范围为.法二：当时，，所以在上递增；当时，，所以在上递减；又，∴令，.∴当时，，所以在上递减；当时，，所以在上递增；当时，，所以在上递减；又当时，，当时,，则，且所以的取值范围为.5.已知函数（I）求证函数在上单调递增；（Ⅱ）函数有三个零点，求的值；（Ⅲ）对恒成立，求的取值范围.5.解：（I）（2分）由于，故当时，，所以

8、，故函数在上单调递增.（Ⅱ）令，得到，的变化情况表如下：0一0+递减极小值递增因为函数有三个零点，所以有三个根，又因为当时，，所以，故.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知在区间上单调递减，在区间上单调递增。所以，记(x>1)则（仅在时取等号），所以递增，故，所以，于是故对，所以.www.ks5u6.本题满分14分）设，，（其中e是自然对数的底数）（I）求证：曲线与在处有相同的切线；（II）设函数的极大值为，是否存在整数m，使恒成立？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由.6.解：（Ⅰ），．……4分，．又．所以，曲线与在处有相同的切线．………………6分（Ⅱ）设，则，方程有两个不同实根，．（事实上，，）

9、不妨设，因为，所以，．………………………8分当变化时，、的取值情况是：+0--0+递增极大递减递减极小递增所以，函数的极大值是．…………………………………12分又因为，，所以．从而，．所以．（事实上，，是的两根，所以，又，所以，从而就有，）因此，这样的整数存在，且的最小值为1．………………………………………14分7.已知函数定义域为[-2，t]（）,设．(1)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；（2）求证：；（3）求证：对于任意的,总存在