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1、单元二导数及其应用项目4导数案例驱动：设平面Illi线的方程为y=/（x），求曲线上某点匕任。,九）处的切线斜率.导数与微分是微分学的两个基本概念，本章从实际问题引入一元函数的导数与微分的概念，讨论其计算方法，应用导数研究函数以及曲线的某些性质，并利用这些知识解决一些实际问题.任务4-1：导数的概念2.1导数的概念2.1.1引例首先给出曲线的切线的概念.定义2.1设点人是平面1111线厶上的一个定点，点P是厶上的动点，当点P沿曲线厶无限趋近点垃时，如果割线垃P存在极限位置PJT,则称直线人/为曲线厶在仇处的切线，如图2T所示.
2、案例2.1设平面曲线的方程为y=/（X）,求曲线上某点人（兀0，儿）处的切线斜率.解在Illi线L上点乙（不），儿）的邻近任取点P（x0+Ax,y0+Ay）,贝ij割线£）P的斜率为.f（x（）+心）一/（兀0）Ar其中0是割线P.P的倾斜角，当点P沿曲线厶无限趋近点人吋，即当心TO时，如果割线P.P的极限位置P.T的倾斜介为a,则P°T的斜率^tan«=InntanHm心心）”）.Pt坨山TOAX山TOA%2.1.2导数的定义在上而两个引案例中，虽然具体意义不同，但所解决问题的方法和步骤都是一样的，即（1）对应于占变量的增量
3、心求出函数的增量Ay=/（x0+Ax）-/（x0）（2）算出函数的增量和白变量增量的比值乞（称为函数的平均变化率）(3)当自变量的增量心T0吋，求比值乞的极限(称为函数在一点的变化率或瞬时变化率).经过这样的抽象，我们就得到了微分学的基本概念——导数的概念.定义2.2设函数y=/(x)在点兀°的某一邻域U(xq,3)内冇定义，在兀。处给自变量兀一个增量心且兀()+心wt/(x()0),相应地函数y有增量，如果极限nmAy=Hm/(xo+Ax)-/(xo)(2-n山t0Ax山toAx存在，贝I」称函数y=f(x)在点兀。处可导，
4、并称此极限值为函数/(兀)在点兀。处的导数，或称函数在兀°处的变化率,记作广(X。)，即/U)=nm^=Hm/(^o^)-/(Xo)心to心mtoAx也可以记作yu，4-或竽I°dx-t=x0dx
5、x=a-0如果极限(2-1)不存在，则称函数y=f(x)在兀°处不可导.(2-2)令x()+Ax=x则Aa•二兀一％o，当AxtO吋，有xtx(),因此函数/(x)在x()点处的导数广(兀。)也可表示为“fSX-Xo根据导数的定义，上述两个引案例的结果口J分别表示为:(1)曲线『=/(兀)上点垃(兀0，儿)处的切线斜率tana=/
6、x0)(2)变速总线运动的质点在/()时刻的瞬时速度就是位置函数s=s(f)在①处的对吋间/的导数，即"(5)=$'仏)=—If案例2.2求函数y二兀$在点兀=2的导数/
7、v=2.解对于自变量兀在点x=2处的增量Ar相应的函数的增量为Ay=/(2+Ax)-/(2)=(2+Ar)2-22=4Ax+(Ax)2因此0=4+，所以yi?=lim^=lim(4+心)=4心丿g山5心心-o'如果函数〉，=/(兀)在区间(％)内的每一点都可导,则称函数y=/(对在区间(a,b)内可导，这时，对于(Q0)内的每一个确定的兀值，都对应着一个确定
8、的函数值广(兀)，于是就确定了一个新的函数广(力，称函数广⑴为函数y=/(x)的导函数，用f'(x).y或乞dx等来表示，即r(x)=lim/(X+Ar)-/(Xxe(^)“toAx在不致发生混淆的情况下，导函数也简称导数.rti导数的定义可知，求两数的导数的一般步骤如F：(1)求增量：Ay=f(x+Ax)-f(x)(2)定比假Az=/(m八心)(3)取极限：/=lim^-=lim/(兀+心)一/(力山toAx&t0Ax根据上述三个步骤求一些简单函数的导数.案例2.3求函数y=x3的导数。解(1)求增量:Ay=(%4-Ax)
9、3-x3=3x2Ax+3x(Ax)2+(Ax)3；(1)定比值:—=3x2+3xAx+(Ax)2；Ax(2)取极限：y*=lim—=lim(3/+3x^x+(Ax)2)=3x2；Av->oArziv->o即(疋)'=3兀2・可以证明，对幕函数),=兀"(“为实数)有,特别地有(巧=1,(cy=o(c为常数),即：常数的导数为零.案例2.4求函数y=sinx的导数。(1)求增量:Ay=sin(x+Ax)-sinx=2sin辛cos(x+辛)(2)算比值：缶2sm?g+：)Axxsin-•cos(“号)（3）取极限:y=MO心•
10、心sin=limlimcos(x+AxtOA%Axt0即(sinx)'=cosxo同理可得：(cosx)r=-sinxo2.1.3基本初等函数的求导公式为了便于应用，我们把基木初等函数的求导公归纳如下:(1)(C)z=0(C为常数)(3)(5)(axy=axa；(2)W二
