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1、向量在圆锥曲线中的应用赵春祥由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。因此，向量的引入大大拓宽了解题的思路，使它在研究许多问题时获得广泛的应用。利用平面向量这一工具解题，可以简捷、规范地处理数学中的许多问题。下面介绍向量在圆锥曲线中的应用。一、在椭圆中的应用例1.椭圆的焦点为F1，F2，点P为椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是___________。解：由题意，设三点坐标分别为：P（x0，y0）、F1（）、F2（），则。由∠F1PF2为钝角，得，即。
2、①又点P（x0，y0）在椭圆上，所以。②联合①、②不难求得。二、在双曲线中的应用例2.双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为_________。解：由已知可得双曲线的两焦点坐标F1(－5，0)、F2（5，0）。设P（x，y），则。因为，即，所以。又因为P（x，y）在双曲线上，所以从而y=±。因此，点P到x轴的距离为。三、在抛物线中的应用例3.设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点。证明：如图，抛物线，焦点是，准线为。设，A、F、B共线
3、，则设，所以有，由BC∥x轴，可得。又由点A在抛物线上，得。化简后，得。则，从而。而，即共线，也就是直线AC经过原点。巧用平面向量的数量积，妙解圆锥曲线问题雷文阁两个非零向量的数量积的定义式含有“角”和“长度”；而该式又可变形为，此式与三角形正弦面积有关；数量积还有坐标形式。因此，通过数量积可沟通长度、角、坐标及三角形面积之间的关系。利用数量积解题，可以避繁就简。以下列举其在圆锥曲线中的应用。一、证明问题例1.（二册上P82）已知一个圆的直径的端点是，求证圆的方程是证明：设是圆上不同于A、B的任意一点，由圆的性质知又所以当M与A或B重合时，仍满足上式，
4、故得证。评析：由结论左边的结构联想数量积的坐标式。二、求值问题例2（2002年高考题）已知两点，且点P（x，y）使得，成公差小于零的等差数列。（1）求证；（2）若点P的坐标为，记与的夹角为，求。解：（1）略解：，由直接法得（2）当P不在x轴上时，而所以，当P在x轴上时，，上式仍成立。图1评析：由正弦面积公式得到了三角形面积与数量积之间的关系，由面积相等法建立等量关系。三、求曲线的方程例3.如图2，在中，，又E在BC边上，且满足，若以A、B为焦点的双曲线过C、E两点，求此双曲线的方程。图2解：以AB所在直线为x轴，AB中点为原点O建立平面直角坐标系，作于
5、D，设双曲线方程为由所以同理可求所以所以设，对于，由定比分点公式得由C、E在双曲线上所以得，所以所以双曲线方程为评析：由条件中的数量积，考虑定义式，巧做辅助线，由角的出现考虑解三角形。四、求参数的取值范围例4.已知椭圆，长轴两端点为A、B，如果椭圆上存在一点Q，使，求这个椭圆的离心率的取值范围。图3解：设又Q满足消x得由得评析：由面积相等法，借助数量积，建立变量y与待求参数e（用a，b，c的关系表示）的函数关系，比用余弦定理或其它方法方便。问题1解:(1)当直线AB轴时,在中,令,有,则,得.(2)当直线AB与轴不互相垂直时,设AB的方程为:由,消去,
6、整理得,显然.设,则,得=+=+===.综(1),(2)所述,有.ypQo问题2解:设点P,Q,M的坐标分别为,x由条件知①②,③④①+②得即,将③,④代入得,于是点M的轨迹方程为.问题3解:(I)C的焦点为F(1,0),直线的斜率为1,所以的方程为,把它代入,整理得设A,B则有.+1=.,所以与夹角的大小为.(II)由题设得,即.得,又,有,可解得,由题意知,得B或,又F(1,0),得直线的方程为或,当时,在轴上的截距为或,由,可知在[4,9]上是递减的,于是,,所以直线在轴上的截距为[].
