向量在几何中的应用

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1、唐山邺范学晚本科毕北论丈题冃向量在解析几何中的应用学生张红阳指导教师孟令江副教授年级10数本2班专业数学与应用数学系另IJ数学与信息科学系唐山邺范学晚敖学与信息科学糸2014年5月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师孟令江的指导下独立撰写完成的。如存剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）：张红阳2014年4月31日标题1蚊觀11弓I言12预备知识12.1向量的概念12.2向量的运算12.1向量的加法112.2向量的减法11

2、.3数量乘向量12.2.4两向量的数量积12.2.5两向量的向量积13.2.2.2.6三向量的混合积22.2.7法向量的有关概念22.8线性相关定义23向量在立体几何中的应用21向量在立体几何中的证明23.2.3.1.1向量在立体几何屮的简单证明23.1.2证明两直线平行321.3证明线面平行41.4证明面面平行63.1.5证明两直线垂直73.1.6证明线面垂直83.1.7证明面面垂直93.2向量在儿何中的计算101距离102..1.1两点间的距离101.2点到直线的距离111.3点面距离111.4异面直线的距离122夹角121两异面直线的夹角123.2.2.

3、2线面角133.2.2.3二面角143.2.3求面积163.2.4求体积17参考文献：18gcW19夕卜;fcM20向量在解析几何中的应用张红阳摘要本文研究向量在解析几何中的应用，其中有证明和计算。通过用空间向量解决立体几何中的这些问题，揭示了向量在向量在解析几何中的重要作用，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，，使解题变得简单化、程序化。关键字向量立体几何平行垂直1引言向量是近代数学最重要和最基本的概念之一，是沟通代数、儿何、三角等p、j容的桥梁。它具有丰富的实际背景和广泛的应用。特别对于它解决儿何的有关问题时更能体现数学的简易美。向量的引入给数学的解题注

4、入了新的活力，尤某是空间向fi的引入对立体儿何的解题可谓是革命性的。在空间直角坐标系中，立体儿何里的线面平行、垂直论证、角度、距离的计算等问题的解决，都与向量有着密切的关系。2预备知识2.1向量的概念定义1:既有大小又有方向的W:叫做向或称矢垃，简称矢。定义2:空间或平面的有向线段叫做矢量或向量。2.2向量的运算1向量的加法设已知向呈LI空间任意一点0为十点接连作向量&=L得一折线的端点0,到另一端点B的向量=叫做两向量6Z与石的和，记作C=+。2.2向量的减法当向量3与C向量的和等于向量6Z，即C=,由两向量“与g求它们的差的运算叫做向M减法。2.2.3数量

5、乘向量实数A与向呈6/的乘积是一个向量，记作它的模是=

6、2

7、cz

8、;A“的方向，当A〉0时与5的方向相同，当A<0时与G的方向相反。我们把这种运算叫做数:W:与向:W:的乘法，简称为数乘。2.4两向量的数量积两向量3和3的模和他们夹角的余弦的乘积叫做向量5向量5的数量积（也称内积），叫做55或6Z，即—♦—#—♦—♦/—>—>ab-abcosZa,bj2.2.5两向量的向量积5与石的向g积（也称外积）是一个向S,记作3x5或者［55］，它的模是axb=absin/.[a.bjy它的方向与tz和5都垂直。6三向量的混合积给定空间的三个向量如果先作前两个向量Z

9、与5的向量积，再作所得的向量与第三个向量5的数量积，最后得到的这个数叫做三向量3的混合积，记作fzx幻；或或（工）。2..7法向量的有关概念如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量。2.2.8线性相关定义—♦■•»对于n（n>1〉个向量6/1，“2，…，6Z,,，如果存在不全为0的n个数冬，乂2，…，人使得—>I»»—♦人“1+A2“2十•••+人，=0,那么n个向量1，石，…，f叫做线性相关。3向量在立体几何中的应用3.1向量在立体几何中的证明1.1向量在立体儿何屮的简单证明例1设互不共线的三向量ig与试证明顺次将它们的始点与终点朴I连而成

10、一个三角形的充要条件是它们的和是零向量。证明：必要性设三个向量H三可以构成三角形ABC,即有^=5，&=（下图），Afi+BC+C4=0,即5+=充分性设tz+g+c=5,作/lfi=6z，BC-b,那么AC=tz+g，所以AC+c=5，从而c是/1C的反14量，因此[=巧，所以3可构成一个三角形A5C。例2用向璧法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。证明：设四边形/IBCD的对角线AC,交于（？点且互相平分（下图），从图可以看出：~AB=A0-}-0B=0C-^-DO=~Dd+OC=~DCf因此，AB//~DCS.AB=~DCf即四边形ABCD

11、为平行四边形。BC3.1.2证明两直线