第4章 参数估计和假设检验讲义

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1、中央财经大学统计学院版权所有内部资料请勿外传第四章参数估计与假设检验掌握参数估计和假设检验的基本思想是正确理解和应用其他统计推断方法的基础，后面将要学习的方差分析、非参数检验、回归分析、时间序列等统计推断方法都是在此基础上展开的。需要特别指出的是，所有的统计推断都要以随机样本为基础。如果样本是非随机的，统计推断方法就不适用了。由于相关知识在先修课程中已经学习过，本章主要在回顾相关知识的基础上，补充讲解必要样本容量的计算、p值、参数估计和假设检验方法的软件操作和结果分析等内容。本章的主要内容包括：（1

2、）参数估计的基本思想和软件实现。（2）简单随机抽样情况下样本容量的计算。（3）假设检验的基本原理。（4）假设检验中的p值。（5）几种常用假设检验的软件实现。第一节参数估计一、参数估计的基本概念参数估计是指利用样本信息对总体数字特征作出的估计。例如，我们可以通过估计一部分产品的合格率对整批产品的合格率作出估计，通过调查一个样本的人口数来对全国的人口数作出估计，等等。参数估计可以分为点估计和区间估计。点估计是指根据样本数据给出的总体未知参数的一个估计值。对总体参数进行估计的方法可以有多种，例如矩估计法、

3、极大似然估计法等，得到的估计量（样本统计量）并不是唯一的。例如我们可以使用样本均值对总体均值作出估计，也可以使用样本中位数对总体均值进行估计。因此，在参数估计中我们需要对估计量的好坏作出评价，这就涉及到估计量的评价准则问题。常用的估计量评价准则包括无偏性、有效性、一致性等。无偏性是指估计量的数学期望与总体参数的真实值相等；有效性的含义是，在两个无偏估计量中方差较小的估计量较为有效，方差越小越有效；一致性是指随着样本容量的增大，估计量的取值应该越来越接近总体参数。样本的随机性决定了估计结果的随机性。由

4、于每一个点估计值都来自于一个随机样本，所以总体参数真值刚好等于一个具体估计值的可能性极小。区间估计的方法则以概率论为基础，在点估计的基础上给出了一个置信区间，并给出了这一区间包含总体真值的概率，比点估计提供了更多的信息。置信区间是根据事先确定的置信度给出的总体参数的一个估计范围。由于所研究的问题不同，区间估计中使用的计算公式也有所不同。在区间估计中，置信度为（）的含义是：在同样的方法得到的所有置信区间中，有的区间包含总体参数的真实值。也可以说，对于计算得到的

5、一个具体区间，“这个区间包含总体真实值”这一结论有中央财经大学统计学院100(1-)%的可能是正确的。但是说“总体参数有100(1-)%的概率落入某一区间”是不严格的，因为总体参数是非随机的。二、抽样分布1.抽样分布的概念抽样分布（SamplingDistribution）是指统计量的概率分布，是区间估计和假设检验的基本依据。从总体中抽取一个样本量为n的随机样本，我们可以计算出统计量的一个值；如果从总体中重复抽取样本量为n的样本，就可以得到统计量的多个值。统计量的抽样分布就是这一统计量所有可能

6、值的概率分布。1中央财经大学统计学院版权所有内部资料请勿外传注意抽样分布是统计量的分布而不是总体或样本的分布。在统计推断中总体的分布一般是未知的，不可观测的（但常常被假设为正态分布）；样本数据的统计分布是可以直接观测的，最直观的方式是直方图，样本数据的统计分布可以用来对总体分布进行检验；抽样分布则一般利用概率统计的理论推导得出，在应用中也是不能直接观测的，其形状和参数可能完全不同于总体或样本数据的分布。2.样本均值的抽样分布下面我们用一个假设的例子来说明抽样分布的含义。设一个总体含有4个个体，分别为

7、NN2Xi(Xi)X=1、X=2、X=3、X=4。则显然有总体的均值i15.2；方差2i1.125。1234NN总体的频数分布如图4-1。0.3频率0.250.20.150.10.0501234图4-1总体的频数分布2现从总体中抽取容量n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有4=16个可能样本。所有的可能样本如表4-1，各样本的均值如表4-2，样本均值的频数分布（抽样分布）如图4-2。从图4-1和图4-2我可以看出，在这个例子中样本均值的抽样分布和总体的分布是有很大差异的

8、。nxii10.15.10.4根据表4-2中的数据，16个样本均值的算术平均数5.2；xM16n2(xix)222i10.1()5.20.4()5.2方差.0625。容易验证，在这里样本均值抽xM16样分布的均值等于总体的均值，方差等于总体方差的1/n。表4-1重复抽样条件下所有可能的n=2的样本（共16个）第一个第二个观察值观察值123411，11，21，31，422，12，22，32，433，13，23，33，4中央财