2006高数A、B上期中参考答案及评分标准

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1、东南大学考试卷学号姓名一.填空题（前四题每题4分，第5题8分，满分24分）1．函数的全部间断点分别是，它们的类型依次分别为跳跃间断点，无穷间断点；2．已知，则，；3．设，其中为可微函数，则微分；4．设，若在处可导，则，；5．举出符合各题要求的一例，并将其填写在横线上：（1）在处不连续，但当时，极限存在的函数有，（2）在处连续，但在时不可导的函数有，（3）在处导数为，但不为极值点的连续函数有，（4）属于“”或“”未定型，且存在有限极限，但极限不能用洛必达法则求得的有.二.单项选择题（每题4分，满分12分）1．设是单调增函数，是单调减函数，且复合函数，都有意义，则下列函数组中全为单调减函数的是

2、[C](A)(B)(C)(D)2．当时，若是比更高阶的无穷小，则[B]共4页第4页(A)(B)(C)(D)3．下面四个论述中正确的是[D](A)若，且数列单调递减，则数列收敛，且其极限(B)若，且数列收敛，则其极限(C)若，则(D)若，则存在正整数，当时，都有。三.计算题（每题7分，满分35分）1．解：2.解：3．设，求.解：4.设，求.解：5.设是由方程所确定的隐函数，求曲线在点处的切线方程.解：对方程关于求导得：，将共4页第4页代入得，于是所求切线方程为，即.四.（8分）设，证明数列收敛并求极限.证：，有上界。，设，，由归纳法得：单调递增，故收敛。设在递推关系式中令，得，即，得，由极限

3、保序性得，故五.（8分）证明：当时,有.证：设，，（3分）所以，故，原不等式得证。六.(7分)设函数在区间上连续，在内可导，，试证：存在一点，使得证：设，在区间上连续，在内可导，且，由罗尔定理知，使得共4页第4页，由于，得七．(6分)设(其中为正整数)，（1）证明：在内有唯一的零点，即存在唯一的，使；（2）计算极限.证：（1）令，，，，故，使得，在区间上连续，在内至少存在一个零点。，记，，，即，在内严格单调递减，在内至多存在一个零点。在内存在唯一零点，即在内存在唯一零点，记为。（2）由于，而严格单调递减，故，所以，得，共4页第4页