[中学联盟]浙江省富阳市场口中学高三数学复习立体几何大题训练

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1、1．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)证明：BN⊥平面C1NB1；(2)求平面CNB1与平面C1NB1所成角的余弦值．2．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．3．如图，已知斜三

2、棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，M是A1B1的中点，MB⊥AC.(1)求证：MB⊥平面ABC；(2)求二面角A1-BB1-C的余弦值．4．如图在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2.E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．[来源:Z

3、xx

4、k.Com][来源:Z。xx。k.Com]1．(1)证明　∵该几何体的正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形

5、，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直．以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．则B(0,0,0)，N(4,4,0)，B1(0,8,0)，C1(0,8,4)，C(0,0,4)．∴·＝(4,4,0)·(－4,4,0)＝－16＋16＝0，·＝(4,4,0)·(0,0,4)＝0.∴NB⊥NB1，BN⊥B1C1.又NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1NB1.(2)解　∵BN⊥平面C1NB1，∴是平面C1B1N的一个法向量n1＝(4,4,0)，设n2＝(x，y，z)为平面NCB1的一个法向量，则⇒⇒所以可取n2＝(1,1,2)．则c

6、os〈n1，n2〉＝＝＝＝.∴所求二面角CNB1C1的余弦值为.2．(1)证明　因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC.所以ED⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.所以DE⊥A1C.又因为A1C⊥CD.所以A1C⊥平面BCDE.(2)解　如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.又＝(3,0，－2)，＝(－1,2,0)，所以令y＝1，则x＝2，z＝.所以n＝(2,1，)．设CM与平面A

7、1BE所成的角为θ.因为＝(0,1，)，所以sinθ＝

8、cos〈n，〉

9、＝

10、

11、＝＝.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.(3)解　线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3]．设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0.又＝(0,2，－2)，＝(p，－2,0)，[来源:学科网ZXXK]所以令x＝2，则y＝p，z＝.所以m＝.平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0，即4＋p＋p＝0.解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾．所以线段BC上不存在点P，使平

12、面A1DP与平面A1BE垂直．3．(1)证明　∵侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1BB1为正三角形，又∵点M为A1B1的中点，∴BM⊥A1B1，∵AB∥A1B1，∴BM⊥AB，由已知MB⊥AC，∴MB⊥平面ABC.(2)解　如图建立空间直角坐标系，设菱形ABB1A1边长为2，得B1(0，－1，)，A(0,2,0)，[来源:学科网ZXXK]C(，1,0)，A1(0,1，)．则＝(0,1，)，＝(0,2,0)，＝(0，－1，)，＝(，1,0)．设面ABB1A1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，由n1⊥，n1⊥得，令x1＝1，得n1＝(1,0,0

13、)．设面BB1C1C的法向量n2＝(x2，y2，z2)，由n2⊥，n2⊥得令y2＝，得n2＝(－1，，1)，得cos〈n1，n2〉＝＝＝－.又二面角A1BB1C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.4．(1)证明　∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.(2)解　如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0

14、)．设P(0,0，a)(