信号与系统讲稿ch7-2

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1、第七章离散时间系统的时域分析三、离散时间系统的描述和模拟（一）离散系统的数学模型——差分方程连续时间系统的数学模型——微分方程微分方程：一阶y′(t)+y(t)=e(t)差分方程：一阶y(k+1)+y(k)=e(k)——前向形式y(k)+y(k−1)=e(k)——后向形式问题:怎样由离散系统得到描述该系统的差分方程？例1一质点沿水平方向作直线运动，其在某一秒内所走过的距离等于前一秒所走过距离的2倍，试列出该质点行程的方程式。解：设k秒末，质点的位移为y(k)某一秒：第（k+1）秒→第(k+2)秒1第七章离散时间系统的时域分析位移[y(k+2)－y(k+1)]前一秒：第k秒→第

2、(k+1)秒位移[y(k+1)－y(k)]依题意：y(k+2)−y(k+1)=2[y(k+1)−y(k)]即y(k+2)−3y(k+1)+2y(k)=0差分方程是处理离散变量的函数关系的一种数学工具，但离散变量并不限于时间变量。例2下图示出电阻梯形网络，其中每一串臂电阻都为R，每一并臂电阻值都为aR，a为某一正实数。每个节点对地的电压为u(k)，k=0,1,2,L,n。已知两边界节点电压为u(0)=E，u(n)=0。试写出求第k个节点电压的差分方程式。2第七章离散时间系统的时域分析u(0)Ru(1)Ru(2)RRu(n−1)Ru(n)EaRaRaRu(k)Ru(k+1)Ru(

3、k+2)解：为了写出此系统的差分方aR程，画出系统中第k+1个节点。对于任一节点k+1，运用KCL不难写出u(k+1)u(k)−u(k+1)u(k+2)−u(k+1)=+aRRR再经整理即得该系统的差分方程2a+1u(k+2)−u(k+1)+u(k)=0a再利用u(0)=E，u(n)=0两个边界条件，即可求得u(k)。差分方程与微分方程在形式上相似！3第七章离散时间系统的时域分析比较dy(t)=−Ay(t)+Be(t)dt与y(k+1)=−ay(k)+be(k)可看出，若y(k)与y(t)相当，则y(k+1)与y’(t)相当。在一定条件下可相互转化。dy(t)一阶微分方程+y

4、(t)=e(t)L(1)dtdy(t)y(t+T)−y(t)考虑离散值（T足够小）:=dtT令t=0,T,2T,…,kTt→kT：e(t)→e(kT)=e(k),y(t)→y(kT)=y(k),y(t+T)→y[(k+1)T]=y(k+1)dy(t)y[(k+1)T]−y(kT)=dtT4第七章离散时间系统的时域分析dyy(k+1)−y(k)11y′===y(k+1)−y(k)=Ay(k+1)+Ay(k)dtTTT10代入（1）式得：y(k+1)−(1−T)y(k)=Te(k)⇒y(k+1)=(1−T)y(k)+Te(k)差分方程的阶数：差分方程中未知函数中变量的最高和最低序

5、号的差数。2dyddy1y(t+2T)−y(t+T)y(t+T)−y(t)二阶:=()=[−]2dtdtdtTTT令t=kT121=y(k+2)−y(k+1)+y(k)222TTT=Ay(k+2)+Ay(k+1)+Ay(k)210n阶：ndy=Ay(k+n)+Ay(k+n−1)+L+Ay(k)nnn−10dt5第七章离散时间系统的时域分析n阶微分方程：nn−1mm−1dydydydedeA+A+L+A+Ay=B+B+L+Benn−1n−110mmm−1m−10dtdtdtdtdtnT足够小时可近似为差分方程：ay(k+n)+ay(k+n−1)+L+ay(k+1)+ay(k)n

6、n−110=be(k+m)+be(k+m−1)+L+be(k+1)+be(k)mm−110(二)差分方程的算子形式ndd1连续系统的微分算子：p=,pn=,=∫dtdydtdtnp定义：py(t)=dtn阶微分方程的算子形式：nn−1mm−1(Ap+Ap+L+A)y(t)=(Bp+Bp+L+B)e(t)nn−10mm−106第七章离散时间系统的时域分析N(p)y(t)N(p)y(t)=e(t),H(p)==D(p)e(t)D(p)离散系统移序算子：Sn1定义：Sy(k)=y(k+1),Sy(k)=y(k+n),y(k)=y(k−1)Sn阶差分方程的算子形式：nn−1mm−1(

7、aS+aS+L+a)y(k)=(bS+bS+L+b)e(k)nn−10mm−10N(S)y(k)=e(k)D(S)y(k)N(S)H(S)==——离散时间系统的转移算子e(k)D(S)（三）离散时间系统的模拟离散时间系统基本运算单元：延时器、标量乘法器、加法器7第七章离散时间系统的时域分析y(0)延时器：Dx(k)y(k)D1x(k)y(k)y(k)=x(k)=x(k−1)Sy(k)=x(k−1)+y(0)初始状态为零初始状态不为零1．一阶差分方程的模拟前向：y(k+1)+ay(k)=e(k)⇒y(k+