信号与系统讲稿9-2

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1、第九章线性系统的状态变量分析三、连续时间系统状态方程的解S.eq:x′(t)=Ax(t)+Be(t)输出eq:y(t)=Cx(t)+De(t)TTe(t)=[e(t)e(t)Le(t)]其中x(t)=[x1(t)x2(t)Lxn(t)]12m[]Ty(t)=y(t)y(t)Ly(t)12r系数矩阵An×n、Bn×m、Cr×n、Dr×m对于LTI系统是常量矩阵(一)状态方程的时域解1．x′(t)=Ax(t)+Be(t)——常系数线性矢量微分方程−At−At−At两边乘以e−At并移项，有ex′(t)−eAx(t)=eBe(t)−At−Atdx(t)de−AtdAtAtAte

2、+•x(t)=eBe(t)(Qe=Ae=eA)dtdtdtdtdt−Aτ−At−At⇒[e−Aτx()]d=eBe()d[ex(t)]=eBe(t)∫ττ∫ττdtt0dτt0t−At−At0−Aτex(t)−ex(t)=eBe(τ)dτ0∫t01第九章线性系统的状态变量分析At两边乘以e并移项得：ttx(t)=eA(t−t0)x(t)+eAte−AτBe(τ)dτ=eA(t−t0)x(t)+eA(t−τ)Be(τ)dτ0∫0∫t0t0−若t0=0(0)零输入解零状态解tAtA(t−τ)则x(t)=ex(0)+∫eBe(τ)dτ0利用矩阵卷积的定义，有AtAtx(t)=e

3、x(0)+e∗Be(t)讨论：（1）状态转移矩阵ϕ(t)（状态过渡矩阵）defAtϕ(t)=e,t≥0性质①ϕ(0)=I②ϕ(t−t0)=ϕ(t−t1)ϕ(t1−t0)ϕ−1t−t=ϕt−t−1()()③(0)(0),ϕt=ϕ−tx(t)=ϕ(t)x(0)+ϕ(t)∗Be(t)2第九章线性系统的状态变量分析At（2）e的求法①拉氏反变换法At−1L{e}=(sI−A)At−1−1ϕ(t)=e=L{(sI−A)}②凯莱——哈密尔顿定理2．输出响应y(t)=Cx(t)+De(t)AtAt=C[ex(0)+e∗Be(t)]+De(t)=C[eAtx(0)+eAtB∗e(t)]+

4、De(t)AtAt[Qe∗Be(t)=eB∗e(t)]AtAt=C[ex(0)+eB∗e(t)]+Dδ(t)∗e(t)[Qδ(t)∗e(t)=e(t)]AtAt=Cex(0)+[CeB+Dδ(t)]∗e(t)=Cϕ(t)x(0)+[Cϕ(t)B+Dδ(t)]∗e(t)=y(t)+y(t)zizs3第九章线性系统的状态变量分析y(t)=Cϕ(t)x(0)ziy(t)=[Cϕ(t)B+Dδ(t)]∗e(t)=h(t)∗e(t)zsAth(t)=Cϕ(t)B+Dδ(t)=CeB+Dδ(t)h(t)——单位冲激响应矩阵（r×m）例一二阶系统的状态方程为x′=Ax(t)，已知当−t

5、⎡x1(0)⎤⎡1⎤⎡x1(t)⎤⎡e⎤⎡x1(0)⎤⎡1⎤x(0)=⎢x(0)⎥=⎢−1⎥时,x(t)=⎢⎥=⎢−t⎥;x(0)=⎢⎥=⎢⎥时,⎣2⎦⎣⎦⎣x2(t)⎦⎣−e⎦⎣x2(0)⎦⎣0⎦t⎡x1(t)⎤⎡e⎤x(t)=⎢⎥=⎢⎥;⎣x2(t)⎦⎣0⎦求该系统的状态转移矩阵ϕ(t)和系统矩阵A。解：因为零输入解x(t)=ϕ(t)x(0)−tt⎡e⎤⎡1⎤⎡e⎤⎡1⎤所以⎢−t⎥=ϕ(t)⎢⎥，⎢⎥=ϕ(t)⎢⎥⎣−e⎦⎣−1⎦⎣0⎦⎣0⎦4第九章线性系统的状态变量分析综合起来，有−tt⎡ee⎤⎡11⎤⎢−t⎥=ϕ(t)⎢⎥⎣−e0⎦⎣−10⎦−1−tttt−t⎡

6、e−tet⎤⎡11⎤⎡ee⎤⎡0−1⎤⎡ee−e⎤ϕ(t)=⎢−t⎥⎢⎥=⎢−t⎥⎢11⎥=⎢−t⎥⎣−e0⎦⎣−10⎦⎣−e0⎦⎣⎦⎣0e⎦At由于ϕ(t)=e,Atdϕ(t)deAt又==Aedtdtd令t=0得，A=ϕ(t)t=0dttt−ttttd⎡ee−e⎤⎡ee+e⎤⎡12⎤∴A=⎢−t⎥=⎢−t⎥=⎢⎥dt⎣0e⎦t=0⎣0−e⎦t=0⎣0−1⎦5第九章线性系统的状态变量分析(二)状态方程的变换域解1.用拉氏变换求解状态变量和输出响应设状态矢量x(t)的分量xr(t)(r=1,2,L,n)的拉氏变换为L{x(t)}=X(s)rr同样则⎡x1(t)⎤⎡X1(s

7、)⎤⎢⎥⎢⎥⎢x2(t)⎥⎢X2(s)⎥E(s)=L{e(t)}L{x(t)}=L=X(s)=⎢M⎥⎢M⎥Y(s)=L{y(t)}⎢⎥⎢⎥x(t)X(s)⎣n⎦⎣n⎦由拉氏变换的微分性质，有L{x′(t)}=sX(s)−x(0)(1)状态方程的解x′(t)=Ax(t)+Be(t)取拉氏变换：sX(s)−x(0)=AX(s)+BE(s)[sI−A]X(s)=x(0)+BE(s)[]−1[]−1X(s)=sI−Ax(0)+sI−ABE(s)6第九章线性系统的状态变量分析状态方程的时域解：−1x(t)=L{X(s)}−1[]−1[]