信号与系统讲稿9-3

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1、第九章线性系统的状态变量分析四、离散时间系统状态方程的解状态方程：x(k+1)=Ax(k)+Be(k)输出方程：y(k)=Cx(k)+De(k)[]Tx(k)=x(k)x(k)Lx(k)12n[]Te(k)=e(k)e(k)Le(k)12m[]Ty(k)=y(k)y(k)Ly(k)12r系数矩阵An×n、Bn×m、Cr×n、Dr×m对于LTI系统是常量矩阵（一）时域法迭代法：给定e(k)和x(0)x(1)=Ax(0)+Be(0)2x(2)=Ax(1)+Be(1)=Ax(0)+ABe(0)+Be(

2、1)32x(3)=Ax(2)+Be(2)=Ax(0)+ABe(0)+ABe(1)+Be(2)M1第九章线性系统的状态变量分析kk−1k−2x(k)=Ax(0)+ABe(0)+ABe(1)+L+Be(k−1)k−1k−1−jk=Ax(0)+∑ABe(j)j=0kk−1=Ax(0)+A*Be(k)零输入分量零状态分量k−1kk−1−jy(k)=CAx(0)+∑CABe(j)+De(k)j=0k讨论：令φ(k)=A——离散时间系统的状态过渡矩阵k−1于是x(k)=φ(k)x(0)+∑φ(k−1−j)B

3、e(j)j=0=φ(k)x(0)+φ(k−1)*Be(k)k−1y(k)=Cφ(k)x(0)+∑Cφ(k−1−j)Be(j)+De(k)j=02第九章线性系统的状态变量分析t连续系统：AtA(t−τ)x(t)=ex(0)+∫eBe(τ)dτ0tAtA(t−τ)y(t)=Cex(0)+∫CeBe(τ)dτ+De(t)0（二）Z变换法x(k+1)=Ax(k)+Be(k)取Z变换：zX(z)−zx(0)=AX(z)+BE(z)(zI−A)X(z)=zx(0)+BE(z)[]−1[]−1X(z)=zI−

4、Azx(0)+zI−ABE(z)[−1]−1[]−1=I−zAx(0)+zI−ABE(z)−1−1−1−1于是x(k)=Z{[I−zA]x(0)+[zI−A]BE(z)}−1[−1]−1−1[]−1=Z{I−zA}x(0)+Z{zI−ABE(z)}零输入分量零状态分量3第九章线性系统的状态变量分析−1−1−1k令Φ(z)=[I−zA]↔φ(k)=Z{Φ(z)}=A−1则X(z)=Φ(z)x(0)+zΦ(z)BE(z)输出响应：y(k)=Cx(k)+De(k)取Z变换：Y(z)=CX(z)+DE(

5、z)−1=CΦ(z)x(0)+CzΦ(z)BE(z)+DE(z)−1=CΦ(z)x(0)+[CzΦ(z)B+D]E(z)=Y(z)+Y(z)zizs[−1]−1Y(z)=CΦ(z)x(0)=CI−zAx(0)zi−1−1[−1]−1Y(z)=[CzΦ(z)B+D]E(z)={CzI−zAB+D}E(z)zs令Y(z)=H(z)E(z)zs−1−1−1−1则H(z)=Cz[I−zA]B+D=C[zI−A]B+DH(z)——离散时间系统的转移函数矩阵−1Z{H(z)}=h(k)——单位函数响应矩阵4

6、第九章线性系统的状态变量分析例1求下列系统的状态方程和输出方程a1e(k)1y(k)1x(k+1)11Sx(k)1x(k+1)21x2(k)e2(k)Sy2(k)a2解：设状态变量x1(k),x2(k)⎧x1(k+1)=a1x1(k)+e1(k)状态方⎨x(k+1)=ax(k)+e(k)程:⎩2222⎧y1(k)=x1(k)+x2(k)输出方程：⎨⎩y2(k)=e1(k)+x2(k)5第九章线性系统的状态变量分析例2一线性时不变系统由二阶差分方程描述，已知输入kk激励为e(k)=ε(k)，系统零

7、初始状态响应y(k)=(2−3+1)ε(k)(1)试求该系统的输入－输出差分方程及状态方程；(2)若激励为e(k)=2G10(k)，求响应。z解：（1）E(z)=Z{e(k)}=Z{ε(k)}=z−12zzzz(z−6z+7)Y(z)=Z{y(k)}=−+=zs32z−2z−3z−1z−6z+11z−622Y(z)z(z−6z+7)z−1z−6z+7zsH(z)==×=E(z)2(z−1)(z−2)(z−3)zz−5z+6差分方程：y(k+2)−5y(k+1)+6y(k)=e(k+2)−6e(k

8、+1)+7e(k)m=n:a=b=1,a=−5,b=−6,a=6,b=7221100⎡x1(k+1)⎤⎡01⎤⎡x1(k)⎤⎡0⎤状态方程：⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥e(k)⎣x2(k+1)⎦⎣−a0−a1⎦⎣x2(k)⎦⎣1⎦6第九章线性系统的状态变量分析即⎡x1(k+1)⎤⎡01⎤⎡x1(k)⎤⎡0⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥e(k)x(k+1)−65x(k)1⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣⎦输出方程:[]⎡x1(k)⎤y(k)=b−bab−ba⎥+be(k)020121⎢2x(k)⎣2⎦[]⎡x1(k)⎤即y(k