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时间:2019-06-01
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1、2013年清华大学保送生考试数学试题详解【第1题】求证:.证明:用数学归纳法证明.当时,命题显然成立.假设当时命题成立,即,则当时,(由归纳假设)下面证明,当时,左边当时,左边以下略.【第2题】求证:为关于的整系数多项式.证明:只需要证明为关于的整系数多项式.记,则是在实数范围内不可分的次整系数多项式因式(因分分圆多项式必然为整系数多项式,其中为欧拉函数),如.于是,如.于是,其中表示对取整.因此问题即对于任意正整数,分子所含因式的个数不少于分母所含的因式的个数,即证明,.下面证明.设,则而或显然成立,于是命题得证.【第3题】已
2、知,求的值.法1:由,得于是.法2:令,则即,整理得.于是法3:由得.根据轮换对称可得.于是法4:当时,令,则由,得.于是当时,令,以下略.【第4题】求证:平面内间跟为的一组平行直线,任意放一长为的针与直线相交的概率为.解:如图,设针的中点离最近的直线的距离为,与直线所成的角为,则.针与直线相交即,因此.【第5题】求证:.证明:设,其中,则.…①由于因此当且仅当时,此时而当取其他值时.于是①式的值为,原式得证.
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