2013年清华大学保送生考试数学试题及答案解析

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1、2013年清华大学保送生考试数学试题解析、目1＞求证：工i=0n2+2斤+4~~12证明:用数学归纳法证明.当/i=123,4,5,6时,命题显然成立•n2+2斤+412假设当n=k时命题成立,鼻+6-3厂「伙+6尸+2伙+6)+厂~k-3i'、+3丿鼻2+2R+4+12R+4厂_2__12__2_12,则［晋M=k+6时，为/=()k+3+3k/=()疋+2£+4fc(「I、—3•—+1ILsJ212一仗+4)3(胃+2”+3罔+3^3」/+2R+412一伙+4)£-3.牡］+1k+3-伙+4)(由归纳假设)IL3J2kk—3・-+2也3」2+3住卜+5下面证hJ］V/:gN,k

2、_3・7+丄3」丿26m—3(2/7?+2)3(胃+1+3〔

3、■卜+5=06/??—3(2m+l)+3•2m-6m+5=0当k=6m+llit,左边=以F略.6/77+1-3(2/77+1)6m+l-3(2m+2)+3•2m—(6m+1)+5=02、求证：-—曰一-—◎为关于无的整系数多项式.«=1k=k=l2加2”j）证明：只需要证明一耳一-—耳一——为关于兀的整系数多项式.fix7k=k=k=、/T-r（2加丄）记级（兀）=Hx-e"，则

4、）=兀一1,輕（兀）=x+l,03（x）=»+x+l,04（兀）=F+1,・・・.于是九⑴二％"的（兀），如*一1=%（兀）・。2（兀）5（兀）・久（兀）・k團「q于是fi（"T）=ilri爲（x）=fi（爲⑴）’其屮一表示对一取整.k=k=pkp=lLP」P因此问题即对于任意正整数〃,分了所含因式爲（兀）的个数不少于分母所含的因式為（兀）的个数，即证明F面证明Vx,y>0,x.ygR,[2x]+[2y]>[x]+[y]+[x+y].设x-[x={x],则[2x]+[2y]-[x]-[y]-[x+y]=2[x]+[2{x}]+2[y]+[2{y}]-[x]-[y]-[x

5、]-[y]-[{x+y}]=[2{x}]+[2{y}]-[{x+y}]ilff2{x]>{x+y}或2{y}n{x+y}显然成立,于是命题得证.abc=-1尤+2-i3、己知abc=-l,—+—=,a2b+b2c--c2a=t,求ab'+bc‘+ca5的值.cc5-l-a3c9+a9c6―丄sssac十是ab'+be5+ca5>22!Qc‘b=c-ac-1-1-(6ZV2-1)3+6ZV-3a3c2+3a6c43a3c2-3oa4c5a4c5Y解法2：令ci~—.bykJ整理得x3z2+y3x2+z3y2=0.于是A9+/z9+?x6=3(x2y3).(A2).(zV)(va+

6、b+c=0d/++c‘二3abc)ab5+bc5+ca‘xV5yz5zx5a)?4yz4zx4x6>,9+y6^9+z9x63(x2y—•——-I+—=—-——-I1一一555555yzzxxyz%y7crh解法3：由—+—=1得a2c=c2-h•根据轮换对称可得h2a=a2-c.c2h=h2-a.cc~于是a//+bc‘+ca5=ha2-c)+cb2-a)+a3(c2-b)=a2b3+b2c3+c2a3一(b3c+c3a+a3b)=ab(a2一c)+bc(/?2-a)+ca(c2-b)-(b'c+c'a+a3b)=3解法4：1。当c>0时，令〈丄zi°=c2sin&,则由仮=

7、_1,得门二—b=c2cos20sin&cos•&217于是ab5+be5+ca5=c2sin&cos"&+c?cos2&+Nsin50sin&cos"0cos?&sin3&cos°0sin2&cos"0sinGeos?6sin'。sii?&cos40sin20sin2^cos20cos20—cos6&+1—sin6Gsin2^cos202。当cv()时，令

8、17td，&W0,-L2jL2J2刃泌15、求证:gcd（Q#）=-££am=0n=0证明：设gcd（a.b）-d.a-dx.b=dy.a）=ex,其'I1a.b.d.x.yeN*,则”=1.1a-la-l2加"恥14一14一】14一1一工lx〒=-££沪=-工（沙+〃+沪+・・・+肝"am=0n=0am=0n=0°/h=0由于（1—少”）（+com+曲+…+co（a-i）m）=-oT=0因此当且仅当加=(),X,2兀,…，(d-1)X吋0”=1,此吋沙+a)m+0