运筹学-第十三章排队系统分析第三节MM1排队模型

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1、第三节M/M/1排队模型一.标准的M/M/1模型（M/M/1/¥/¥）1.问题的一般提法设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制求：（1）系统状态概率P；n（2）系统运行指标L，L，W，W。sqsq12.系统状态概率（1）利用状态转移图列出平衡方程状态转移图是处理稳态M/M/C系统的一种工具，设到达与服务率分别为l和m，则llll012...n-1nn+1...mmmm由此列出平衡方程：ìlP0=mP1íîlPn-1+mPn+1=(l+m)Pn,n³12（2）由平衡方程解得状态概率ìlP0=mP1由平衡方程í

2、lP+mP=(l+m)P,n³1în-1n+1n可解得状态概率：ìlP=1-ï0ïmíïlnlP=()(1-),n³1nïîmml记=r，称为服务强度，规定r<1（为什么？），则mìP0=1-rínP=rPîn033.系统运行指标（1）Ls与LqQL表示系统中的平均顾客数，由期望定义，s¥¥¥nn-1Ls=ånpn=ånr(1-r)=r(1-r)ånrn=0n=0n=1¥n¥drdn=r(1-r)å=r(1-r)årn=1drdrn=0d11=r(1-r)=r(1-r)2dr1-r(1-r)rl==1-rm-l4¥¥¥Lq=

3、å(n-1)Pn=ånPn-åPn=Ls-(1-P0)n=1n=0n=1=L-rsl其中r=<1。问题：为什么L-L=r<1(而不是=1）呢？sqm——因为是均值。（2）Ws与Wq首先可证，逗留时间W服从参数为m-l的负指数分布，而负指数分布的均值等于其参数的倒数，故平均逗留时间1W=sm-l平均等待时间等于平均逗留时间减去平均服务时间，即1W=W-qsm5（3）上述4个指标之间的关系——里特公式l1L=lWL=lWL-L=W-W=ssqqsqsqmm一般的里特公式中l应为l，称有效到达率，即实际进入e系统率。本模型中因系统容

4、量无限制，故l=l。e例2某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从泊松分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均需6分钟。求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）店内顾客的平均数；（5）顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的顾客平均数；（7）平均等待修理时间；（8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。61解：此为标准的M/M/1模型，l=4人/小时，m=人/分钟=10人/小时，6l2r==。m53(1)P=1-r=;053233(2)P=r(1-r)=()

5、()=0.0384;3552(3)1-P=;05l42(4)L===(人/小时）;sm-l6311(5)W=L=(小时/人）;ssl6224(6)L=L-r=-=(人/小时）;qs35151111(7)Wq=Ws-=-=(小时/人）;m610151111-(10-4)4-1.5(8)P(W³)=1-P(W<)=1-F()=e=e=0.223。4447二.系统容量有限的M/M/1模型（M/M/1/N/¥）1.与（M/M/1/¥/¥）的区别(1)系统状态n=0，1，L，N;ìλ,当n

6、到达率l=l(1-P)+0P=l(1-P)eNNN注：由于系统稳态时应达到统计平衡，即进入速率应等于离去速率，故l(1-P)=m(1-P)。N082.状态概率lllll012...n-1nn+1...N-1Nmmmmm由此列出平衡方程：ìlP0=mP1ïílPn-1+mPn+1=(l+m)Pn,n=1,L,N-1ïlP=mPîN-1N先解得P=rnP，n0N+1N1-r再由P=P+rP+L+rNP=P=1可解得P，ån00000n=01-rì1-rïP=故01-rN+1íïP=rNPîN093.系统运行指标NN+1r(N+1)

7、rLs=ånPn=-N+1，n=01-r1-rL=L-(1-P)，qs0LsW=，sleLqW=。qle其中l=l(1-P)为有效到达率。eN10例3某修理站只有1个修理工，且站内最多只能停放3台待修理的机器。设待修理的机器按泊松流到达，平均每小时到达1台；修理时间服从负指数分布，平均每1.25小时可修理1台。试求：（1）站内空闲率；（2）顾客损失率；（3）有效到达率；（4）站内平均队长；（5）机器为修理而需等待的平均时间。1解：此为(M/M/1/4/¥)排队系统，l=1，m=0.8，r==1.25。0.81-r1-1.25(

8、1)P===0.122;04+151-r1-1.2544(2)P=rP=1.25´0.122=0.298;40(3)l=l(1-P)=1´(1-0.298)=0.702;e455r(4+1)r1.255´1.25(4)L=-=-=2.44(台)；s551-r1-r1-1.25