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《世纪金榜二轮专题辅导与练习选修4-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、选修4-2矩阵与变换一、主干知识1.矩阵的定义:同一横(竖)排中按原来次序排列的一行(列)数叫做矩阵的行(列),组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素,其中,一条从左上角到右下角的元素构成的对角线称为矩阵的主对角线.特别:(1)2×1矩阵,2×2矩阵(二阶矩阵),2×3矩阵.(2)零矩阵:__________.(3)行矩阵:________,列矩阵:_____,一般用等表示.[a11,a12]2.几种常见的平面变换：(1)恒等变换矩阵(即单位矩阵)：________.(2)伸压变换矩阵：______________.(3)反射变换矩阵：___
2、___________________.(4)旋转变换矩阵：_____________.(5)投影变换矩阵：_____________.(6)切变变换矩阵：_____________.3.逆矩阵:设A是一个二阶可逆矩阵,如果存在二阶矩阵B,使AB=BA=E,则称二阶矩阵A是可逆矩阵,称B是二阶矩阵A的逆矩阵,记作A-1.4.特征值和特征向量：A=如果存在λ和非零向量满足______________，即则λ叫A的一个特征值，叫A的属于特征值λ的一个特征向量.二、重要公式和法则1.二阶行矩阵与平面向量的乘法：_________2.二阶行矩阵的
3、乘法:_____________3．二阶可逆矩阵A=(ad－bc≠0)的逆矩阵是_____________________.4．设A=是一个二阶矩阵，λ∈R,则A的特征多项式为：___________________________________.5.矩阵M的n次变换对于二阶矩阵M，它的特征值分别为λ1和λ2，其对应的特征向量分别为和(两者不共线)，则当任一向量时，_________________.1．(2012·江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A－1=求矩阵A的特征值．【解析】因A－1=故A=(A－1)－1=因矩阵A的特征多项式为f(λ
4、)==λ2－3λ－4，令f(λ)=0，解得矩阵A的特征值λ1=－1，λ2=4.2．(2012·福建高考)设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.(1)求实数a，b的值.(2)求A2的逆矩阵.【解析】(1)设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′,y′)，由得因点P′(x′,y′)在曲线x2+y2=1上，故(ax)2+(bx+y)2=1，化简得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1，从而比较对应项系数得：又因为a>0，解之得(2)由(1)
5、得A=故A2=从而(A2)－1=热点考向1二阶矩阵与平面向量、常见的平面变换【典例1】(2013·南京模拟)已知矩阵M＝对应的变换将点A(1，1)变为A′(0，2)，将曲线C：xy＝1变为曲线C′．(1)求实数a，b的值.(2)求曲线C′的方程．【解题探究】由条件点A(1，1)变为A′(0，2)，根据矩阵与平面向量的乘法法则得关于实数a，b的方程是__________，从而求解，并得到坐标的变换公式是_____________，再代入曲线C的方程，即可得到曲线C′的方程.【解析】(1)由题知，即(2)设P′(x，y)是曲线C′上任意一点，
6、P′由曲线C上的点P(x0，y0)经矩阵M所表示的变换得到，所以解得因为x0y0＝1，所以即曲线C′的方程为【互动探究】根据本题条件，能否判断矩阵M属于何种常见的平面变换？从本题结果观察，反比例函数的图象，通过何种变换，可转化成双曲线的标准形式？【解析】因点A(1，1)在直线y=x上，此直线与坐标轴的夹角为45°，当它变换到A′(0，2)时，即变换到y轴上，故这是旋转变换，又因OA=OA′=2，故还需实施伸压变换，即本题变换中含有两种常见的变换，即由从本题结果观察，反比例函数的图象，通过旋转变换(旋转角为±45°)，可转化成双曲线的标准形
7、式.【方法总结】曲线变换问题的求解思路有关曲线的变换问题，都是通过变换矩阵左乘列向量，得到原曲线上的点坐标与新坐标之间的关系式，再用新坐标的函数式表示原坐标，而原坐标一定满足原方程，故代入原方程，即可得到新的曲线方程.【变式备选】在平面直角坐标系xOy中，直线l:x+y+2=0在矩阵M=对应的变换作用下得到直线m:x－y－4=0，求实数a,b的值.【解析】在直线l:x+y+2=0上取两点A(-2,0),B(0,-2),A,B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′,B′，因为所以A′的坐标为(－2,－2b)，所以B′的坐标为(-2a,-8
8、).由题意A′,B′在直线m:x－y－4=0上，所以解得a=2,b=3.热点考向2矩阵的乘法、逆变换与逆矩阵【典例2】(2013·徐州模拟)已知a，b∈R，若矩阵M=所对应的变换把直线l：2x
