15年高考真题——理科数学(上海卷)

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1、2015年高考真题理科数学（解析版）上海卷2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。1．设全集，若集合，，则_________。2．若复数满足，其中为虚数单位，则_________。3．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则__________。4．若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则__________。5．抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为1，则_______。6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为_______。7．

2、方程的解为___________。28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。9．已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和。若的渐近线方程为，则的渐近线方程为__________。10．设为，的反函数，则的最大值为_________。11．在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）。12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（

3、单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）。若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则___________（元）。13．已知函数。若存在满足，且6/62015年高考真题理科数学（解析版）上海卷，则的最小值为__________。14．在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为2和4。过作于，于，则__________。二．选择题：共4小题，每小题5分，共20分。15．设，则“中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分

4、条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件16．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）（A）（B）（C）（D）17．记方程①：，方程②：，方程③：，其中是正实数。当成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）（A）方程①有实根，且②有实根（B）方程①有实根，且②无实根（C）方程①无实根，且②有实根（D）方程①无实根，且②无实根18．设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（）（A）（B）（C）1（D）2三．解答题（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）如图，在长方体中，，，分别是的

5、中点．证明四点共面，并求直线与平面所成的角的大小。6/62015年高考真题理科数学（解析版）上海卷20．（6分+8分）如图，三地有直道相通，千米，千米，千米。现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）。甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时。乙到达地后原地等待。设时乙到达地。⑴求与的值；⑵已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由。21．（6分+8分）已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于和，记得到的平行

6、四边形的面积为。⑴设，，用的坐标表示点到直线的距离，并证明；⑵设与的斜率之积为，求面积的值。22．（4分+6分+6分）已知数列与满足。⑴若，且，求数列的通项公式；⑵设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；⑶设，，求的取值范围，使得有最大值与最小值，且。23．（4分+6分+8分）对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期。已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为。设单调递增，，。⑴验证是以为周期的余弦周期函数；⑵设，证明对任意，存在，使得；⑶证明：“为方程在上得解

7、”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有。6/62015年高考真题理科数学（解析版）上海卷2015年普通高校招生全国统考数学试卷上海卷解答一．1．；2．；3．16；4．4；5．2；6．；7．2；8．120；9．；10．4；11．45；12．；13．8；14．二．BDBA19．解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，。因，，故，知直线与共面，即共面。设平面的法向量为，则，。又，故，取得。设直线与平面所成角为，因，故，因此直线与平面所成的角的大小为。20．解：⑴由题，记乙到时甲所在地为，则千米，在中，，故

8、（千米）；⑵甲到用时1小时；乙到用时小时，从到总用时小时。当时，；当时，。所以。因在上的最大值是，在6/62015年高考真题理科数学（解析版）上海卷上的最大值是，故在上的最大值是，不超过3。21．解：⑴由题：，点到直线的距离，，所以；⑵设：，则：。设，，由得，同理。由⑴，。22．解：⑴由，得，故是首项为1，公差为6的