椭圆型方程的差分格式

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1、第三章椭圆型方程的差分方法•3.1正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟•3.2Neumann边值问题的差分模拟•3.3混合边值条件•3.4非矩形区域•3.5极坐标形式的差分格式•3.6矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析•3.7一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究设Ω是平面中的具有边界的一个有界区域，本章考虑如下椭圆型方程的差分解法：222∂u∂u∂u⎛∂u∂u⎞a()x,y+2b()x,y+c()x,y=d⎜x,y,u,,⎟(3.1)22⎜⎟∂x∂x∂y∂y⎝∂x∂y⎠其中，系数a(x,y)，b(x,y)，c(x,y)满足(3.2)2(

2、)b−ac<0x,y∈Ω对应方程(3.1)的定解问题有下面三类：第一边值问题，或称Drichlet问题⎧方程(3.1)(x,y)∈Ω⎨⎩u=f()()x,yx,y∈∂Ω第二边值问题，或称Neumann问题⎧方程(3.1)(x,y)∈Ω⎪⎨∂u()()=gx,yx,y∈∂Ω⎪⎩∂n第三边值问题，或称Robin问题⎧方程(3.1)(x,y)∈Ω⎪⎨()()∂u()()αx,yu+βx,y=γx,yx,y∈∂Ω⎪⎩∂n其中α(x,y),β(x,y)>03.1正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟考虑Laplace方程22∂u∂u+=0()x,y∈Ω(3.3)22∂x∂y

3、设Ω为正方形区域，0

4、在区域Ω内部22(M−1)个点上建立(M−1)个方程。◇U=0l,m=1,",M−1（3.8）l,m定义向量[]TU=U,U,",U;U,U,",U;U,U,",U1,12,1M−1,11,22,2M−1,21,M−12,M−1M−1,M−12单位正方形中的内部结点上的(M−1)个线性方程(3.8)写成矩阵形式为AU=K（3.9）2其中，A是阶(M−1)方阵⎡B−I⎤⎢⎥−IB−I⎢⎥A=⎢%%%⎥⎢⎥⎢−IB−I⎥⎢⎣−IB⎥⎦I是(M-1)阶单位方阵；B是(M-1)阶方阵。⎡4−1⎤⎢⎥−14−1⎢⎥B=⎢%%%⎥⎢⎥−14−1⎢⎥⎢⎣−14⎥⎦3.2Neumann边值问题的差分模拟现在我

5、们考虑Laplace方程Neumann边值问题，即22⎧∂u∂u+=0()x,y∈Ω;Ω={}()x,y

6、0

7、=g()x,y⎪∂Ω⎩∂n∂u表示函数u沿着边界的外法线方向导数。在正方∂n∂Ω形的四个顶点上法向没有定义，事实上，g(x,y)在那里将不连续，以后将取平均值作为不连续点上的值的定义。Neumann边值问题(3.10)的解存在，仅当∫∂Ωg(x,y)dl＝0且除了一个任意常数外，解唯一。因为容易看到，如果u(x,y)是式(3.10)的解，于是，u(x,y)+C(C是一个任意常数)也是其解。为了唯一性，需要规定u(x,y)在区域中某

8、一点上的值。Neumann边值问题的差分模拟先在区域Ω中给定一个正方形网格区域，步长为2h，Mh=1,于是必须确定解的结点为（M+1)个，结点上的差分方程的解为U(0≤l,m≤M)l,m（3.12）在内点上，Laplace方程由差分方程(3.6)代替：1(22)δ+δU=02xyl,mhl,m＝1，2，…,M−1在x=0上的导数边值条件的差分模拟为1()U−U=gm=1,2,"M−1−1,m1,m0,m（3.13）2h这里g=g()0,mh。0,m在五点差分格式(3.12)中令l=0，于是有(22)δ+δU0,=0xym即U=2U−U−U+2U−U−1,m0,m1,m0,m−10,m0,m+1

9、代入式(3.13)，则4U−2U−U−U=2hgm=1,",M−1（3.14）0,m1,m0,m−10,m+10,m同理，在x=1,y=0,y=1时分别有4U−2U−U−U=2hgm=1,",M−1（3.15）M,mM−1,mM,m−1M,m+1M,m4U−2U−U−U=2hgl=1,",M−1l,0l,1l−1,0l+1,0l,0（3.16）4Ul,M−2Ul,M−1−Ul−1,M−Ul+1,M