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1、♥Lihai--2009.03.06MathSchool,SichuanUniversityMedicalMathematicsLihai,AssociateProf.ofMath.MathSchool,SichuanUniversityemail:alihai@scu.edu.cn2009.10.30Chapter2DerivativesofFunctions1♥Lihai--2009.03.06MathSchool,SichuanUniversity高阶导数高阶导数的定义和运算公式实际问题中的高阶导数复合函数,反函数,隐函数的高阶导数分段函数的高阶导
2、数2009.10.30UniversityMedicalMathematics2♥Lihai--2009.03.06MathSchool,SichuanUniversity高阶导数的定义和运算公式高阶导数的定义高阶导数的运算公式2009.10.30UniversityMedicalMathematics3♥LihaiSecondorderderivative--2009.03.06MathSchool,SichuanUniversity•Definition:设y=f(x).当自变量x变化时,函数和导函数也随之而变.如果导函数的导数,即∆y′f(x′+∆
3、x)f(x)−′lim=lim=B(Constant)∆x0→∆x∆x0→∆x则称f(x)关于自变量x二阶可导,并且把B称为f(x)的二阶导(函)数,仍统称为二阶导数,记为22dydfB==yy′′=yx′′()=fx′′()==22dxdx•类似于一阶导数,定义二阶导数不存在的情形.2009.10.30Chapter2DerivativesofFunctions4♥LihaiThechangeofchanges--2009.03.06MathSchool,SichuanUniversity二阶导数的数学意义•代数意义:如果一阶导数是函数的变
4、化率,那么,二阶导数则是一阶导函数的变化率.所以,二阶导数是原函数变化率的变化率.•几何意义:当二阶导数存在时,二阶导数是一阶导函数的切线的斜率.也是原函数曲线的凹凸性的指标.2009.10.30Chapter2DerivativesofFunctions5♥LihaiDerivativesofhigherorder--2009.03.06MathSchool,SichuanUniversity•Definition:设y=f(x)的n阶导数存在.若极限()n()n(n+1)f(x+∆−x)f()x(n+1)y=lim=A=Constant∆→x0∆∆∆
5、x存在,则称y=f(x)关于x是n+1阶可导的,并且把A(n+1)称为f(x)的n+1阶导数,记为n+1n+1(n+1)(n+1)(n+1)(n+1)dydfA=y=y()x=f()x==n+1n+1dxdx2009.10.30Chapter2DerivativesofFunctions6♥LihaiDegreeofsmoothness--2009.03.06MathSchool,SichuanUniversity•对于函数y=f(x),如果它的n阶导数存在,但是n+1阶导数不存在,那么,它的n+2阶以及更高阶的导数都不会存在,于是称f(x)是直到n阶可
6、导的.•若f(x)的任意高阶的导数都存在,则称f(x)是无穷阶可导的.•f(x)越是高阶可导的,f(x)越是光滑的.•Question:是否有粗糙的的函数的函数？☺☺☺2009.10.30Chapter2DerivativesofFunctions7♥Lihai高阶导数的运算--2009.03.06MathSchool,SichuanUniversity•只要f(x)不是分段函数,或者其n阶导数还不是分段函数,则求高阶导数一般还是采用公式法.•但是,如果f(x)是分段函数,或者其n阶导数变变成了分段函数变成了分段函数,则求更高阶的导数时,在其分段点处,必
7、然涉及按定义求导的程序.2009.10.30Chapter2DerivativesofFunctions8♥Lihai--2009.03.06MathSchool,SichuanUniversity按照公式求高阶导数基本初等函数的高阶导数高阶导数的四则运算公式2009.10.30UniversityMedicalMathematics9♥Lihai--高阶导数公式:幂函数2009.03.06MathSchool,SichuanUniversity设y=f(x)=xk,如果k是正整数,则当n≤k时,kn−−−kn()kn−−−kx!(x)=kk(−1)(k
8、−2)(kn−+1)x=(kn−−−)!当n=k时,(xk)(k)=k!是一个
