3-1(导数与微分)

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1、3.1导数与微分的概念引例导数(derivative)的定义微分(differential)的定义导数与微分的几何意义求导数与微分举例函数可微性与连续性的关系小结思考题1一、引例例1直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动,已知路程s与时间t的关系ss(t).试确定t0时的瞬时速度v(t0).解从时刻t0t0t,质点走过的路程ss(tt)s(t),00s这段时间内的平均速度v(t).t若运动是匀速的,平均速度就等于质点在每个时刻的速度.2若运动是非匀速的,平均速度v(t)是这段时间内运动快慢的平均值,t越小,它越近似的表明t0时运动的快慢

2、.因此,人们把t0时的速度定义为ss(tt)s(t)v(t)limlim00,0tt0t0t并称之为t0时的瞬时速度v(t0).注此式既是它的定义式,又指明了它的计算方法,瞬时速度是路程对时间的变化率.3P.deFermat1601-1665例2曲线的切线斜率问题若已知平面曲线yf(x),如何作过曲线上点M0(x0,f(x0))的切线呢.初等数学中并没有给出曲线切线的定义.我们知道与圆周有唯一交点的直线即为圆周过该点的切线.但此定义不适应其它曲线.如与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线.对于一般曲线如何定义其切线呢?法国数学家费马在1629

3、年提出了如下的定义和求法,从而圆满地解决了这个问题.4割线的极限位置——切线位置.y如图,如果割线MN绕点yf(x)NM旋转而趋向极限位置TMT,为C在点M处的切线.MC极限位置即Ox0xxMN0,NMT0.已知曲线的方程yf(x),确定点M(x,y)处切线的斜率.0005设M(x,y),N(x,y).割线MN的斜率为00yyf(x)f(x)00tan,xxxx00沿曲线CNM,yyf(x)xx,N0T切线MT的斜率为ktanMCf(x)f(x)lim0Oxxx0xx0xx06上述两例,就其实际意义来说各

4、不相同,分别属于运动学、几何学中的问题,但在数量关系上确有如下的共性:1.在问题提法上,都是已知一个函数yf(x),在现实生活中,凡涉及变化率的问求y关于x在x0处的变化率.题,其精确描述和计算都离不开此式所2.计算方法上,规定的这一运算.(1)当y随x均匀变化时,用除法.(2)当变化是非均匀的时,需作平均变化率的yf(xx)f(x)00极限运算:limlimx0xx0x7二、导数的定义定义设函数yf(x)在点x的某个邻域内0有定义,当自变量从x变到xx时,函数00yf(x)的增量yf(xx)f(x)与自00变量的增量x之

5、比yf(xx)f(x)00xx称为f(x)的平均变化率.8如x0,平均变化率的极限:函数在一点x0处的变化率yf(xx)f(x)00limlim(1)x0xx0x存在,则称此极限值为f(x)在x处的导数.(derivative)0并说f(x)在x处可导或有导数.可用下列记号0dydf(x)y,,f(x)或xx0dx0dxxx0xx0中的任何一个表示,如f(xx)f(x)00f(x)lim0x0x9f(x0xx)f(x0)f(x)lim(1)0xx0xx当极限(1)式不存在时,就说

6、函数f(x)在x0处不可导或导数不存在.特别当(1)式的极限为正(负)无穷时,有时也说在x0处导数是正(负)无穷大,但这时导数不存在.注在利用导数的定义证题或计算时,要注意导数定义可以写成多种形式:f(x0h)f(x0)f(x)lim,0h0hf(x0h)f(x0)f(x)lim.0h0h10f(xx)f(x)00f(x)lim0x0xf(x)f(x)或f(x)lim0,0xx0xx0特别是,如果x0=0,可以写成f(x)f(0)f(0)lim.x0x关于导数的说明(1)点导数是因变量在点x0处的变化率,它反

7、映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.(2)如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导.11(3)对于任一xI,都对应着f(x)的一个确定的导数值.这个函数叫做原来函数f(x)的导函数.dydf(x)记作y,f(x),或.dxdxf(xx)f(x)即ylimx0xf(xh)f(x)或f(x)lim.h0h注f(x)f(x)0xx012例用导数表示下列极限f(a3x)f(a)(1)设f(x)在xa可导,求lim.x05xf(ah)f(a)(2)已知f(a)2,求lim