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1、第二讲导数与微分§1导数的概念一、内容提要1．导数的定义：(1)几个等价形式(2)存在与.(3)函数在处右连续,且,则.函数在处左连续,且,则.2.导数的几何意义:-----曲线在点的切线斜率.曲线在点的切线:曲线在点的法线:3.导数的物理意义:如果表示物理量,则导数表示该量的变化率.如设--直线运动,则---时刻的瞬时速度,---时刻时的加速度.4.可导与连续的关系函数在处,可导连续极限存在;反之,极限存在不一定连续,连续不一定可导.5．微分的定义及性质：(1)微分的定义:若，则称函数在点可微,称为在点处的微分，记作，即.当是自变量时,
2、.(2)微分与导数的关系:可微可导,且6二、典型例题分析1.1导数概念(常见题型：概念、切线与法线、可导性与连续性的讨论)例1单项选择题(1)设，则在处可导的充要条件是()(B)（A）存在；（B）存在；（C）存在；（D）存在.(2)设可导，，则是在处可导的().(A)(A)充分必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分但非必要条件(D)既非充分也非必要条件.(3)设,则在内不可导点的个数是()(C)(A)0；(B)1；(C)2；(D)3.(4)设，其中有界，则在处().（D）(A)极限不存在；(B)极限存在但不连续；(C)连续但不可导；(D
3、)可导.例2填空题(1)设曲线在点处的切线与轴交点为,则.(2),其导数在处连续,则的取值范围是.(3)已知，则.()[注]此处：.此例说明，用定义求某些函数在某些点处的导数有时也相当方便.例3已知是周期为5的连续函数,它在的某个邻域内满足关系式其中是时比高阶无穷小,且在处可导,求曲线在点6处的切线方程.[分析]关键:确定切点和切线斜率.因以5为周期,故,,所以只需求出即可.例4设,有二阶连续导数，且，（1）求；（2）讨论的连续性.[注]研究分段函数可导性（连续性）时，分段点需特别考虑.一般情形，分段点处的导数必须用导数的定义求；若分段点
4、左右两边的表达式不同时，要按定义求左、右导数.1.2函数的微分例1单项选择题(1)设函数满足:.若,则()(A)(A)(B)(C)(D)(2)设函数可导,当自变量在处取得增量时,相应函数增量的线性主部为,则().(D)(A)(B)(C)(D)例2设满足，并且，对任意两点有，求证：（1），（2）f(x)可微；（3）求.§2导数的计算一、内容与知识要点1.基本导数公式2.求导法则(1)四则运算法则(和、差、积、商):；；；；；(2)复合函数求导法则6(3)反函数的导数:.3.一阶微分形式不变性:当变换自变量时（即设为另一变量的可微函数时），微
5、分形式并不改变.4.高阶导数几个常用函数的高阶导数公式:;;,;;.高阶求导法则;;5.隐函数求导方程确定了一个隐函数.方法一:(两边求导法)方程两边分别对求导，记住是的函数,求出.方法二:(两边微分法)方程两边取微分（利用微分基本公式、法则及微分形式不变性），解出.方法三:(公式法).6.由参数方程所确定的函数求导,,二、典型例题分析1用四则运算求导法则和复合函数求导法则求导数例1填空题6(1)设,,则.(2)设,则.(3)设由所确定，则曲线在处的法线方程为.（）(4)曲线上对应雨点处的切线方程为.（）(5)设,则.例2单项选择题(1)
6、设可微，，，则等于()(B)（A）；（B）；（C）；（D）.(2)设有任意阶导数，，则时为().(A)(A)；(B)；(C)；(D).例3求下列函数的导数：(1)，求;(2)，求；(3)设，有二阶导数，且，求；(4)，求；(5)，求；()(6)，求；()(7)设由所确定（t>1），求；(8)设三阶可导,且，其反函数,求；6（）(7)若，其中二阶可导，求6
