21导数与微分

《21导数与微分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、§2.1　　导数与微分一、导数与微分概念1.　导数的定义设函数在点的某邻域内有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量，如果极限存在，则称此极限为函数在处的导数（也称微商），记作或等，并称函数在点处可导，如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。导数定义的另一等价形式，令，，则【例1】　设，求.解　原式＝＝＝【01】设，则在点可导的充要条件为（）（A）存在.（B）存在.（C）存在.（D）存在.选B【07】设在连续，下列命题错误的是（）（A）若存在，则.（B）若存在，则.（C）若存在，则存在.（D）若存在，则存在.选C【

2、例2】　设曲线与在原点相切，求.解　由题设可知，于是　　　【例3】　设，其中在点处连续，求。解　没有假设可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义。【例4】　设（n为正整数），求。解　在点处连续而不可导，　　　我们也引进单侧导数概念。右导数：左导数：则有在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。【例5】　讨论函数在处连续性与可导性。解　函数在处连续，因为，则但是，在处没有导数，因为曲线在原点的切线不存在（见上图）。【例6】　设函数，试确定的值，使在点处可导。解可导一定连续，在处也是连续的，由　　　　　　　要使在点

3、处连续，必须有或又要使在点处可导，必须，即故当时，在点处可导。【05】设函数，则在内（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点选C2.　导数的几何意义与物理意义如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。切线方程法线方程：设物体作直线运动时路程与时间的函数关系为，如果存在，则表示物体在时刻时的瞬时速度。【例1】　证明曲线上任一点处切线与两坐标轴所围成的直角三角形面积恒为2.证　所求切线方程为令，得切线截x轴的截距，令，得切线截y轴的截距，直角三角形面积　往年考研

4、以填空题为主【08】曲线在点处的切线方程是________。隐函数求导，3.　函数的可导性与连续性之间的关系如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导，例如，，在处连续却不可导。4.　微分的定义设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式其中与无关，是时比高阶的无穷小，则称在处可微，并把中的主要线性部分称为在处的微分，记以或。我们定义自变量的微分就是。5.　微分的几何意义是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是与曲线在点处切线的纵坐标相应的增量（见图）6.可微与

5、可导的关系在处可微在处可导，且.一般地，，则，所以导数也称为微商，就是微分之商的含义。7.高阶导数的概念如果函数的导数在处仍是可导的，则把在点处的导数称为在点处的二阶导数，记以或或等，也称在点处二阶可导。如果的阶导数的导数，称为的阶导数，记以等，这时也称是阶可导。二、导数与微分计算1.　导数与微分表2.四则运算法则3.复合函数运算法则设，如果在处可导，在对应点处可导，则复合函数在处可导，且有对应地由于公式不管是自变量或中间变量都成立，因此称为一阶微分形式不变性。【例1】　求下列函数的导数：（1）　　　　　（2）解　（1

6、）＝＝（2）＝＝【例2】　求下列函数的微分（1）　　　　　　　　（2）解　（1）（2）＝＝【例3】　设，求.解　令　　则　　　　因此　　　【例4】　设可微，，求dy.解　＝＝【例5】　设，求.解　　＝求n阶导数（n≥2，正整数）先求出，，…，总结出规律性，然后写出，最后用归纳法证明.有一些常用的初等函数的n阶导数公式（1）（2）（3）（4）（5）【例1】　设（k正整数），求（n正整数）.解　　　　【例2】　设，求（n正整数）.解　　　　【例3】　设，求（n正整数）.解　　　　…【07】设函数，则用归纳法求解，【例4】设

7、，求（n正整数）.解　　　　＝【00】求函数在处的阶导数。用莱布尼兹公式，4.由参数方程确定函数的运算法则设确定函数存在，则二阶导数【例1】　设，求.解　【例2】　求曲线在处的切线方程.解　，.，故切线方程为即　【例3】　设，求.解　　　【10】设，则.（）5.反函数求导法则设的反函数，两者皆可导，且则　　　二阶导数　　6.隐函数运算法则设是由方程所确定，求的方法如下：把两边的各项对求导，把看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出的表达式（允许出现变量）。例　　【例1】　设由方程所确定，求和.解一　对方程两边关

8、于x求导，y看作x的函数，按中间变量处理.于是，解二　对方程两边求微分，根据一阶微分形式不变性.于是　　【例2】　设由方程所确定，求.解，【02】已知函数由方程确定，则（）。7.对数求导法则先对所給函数式的两边取对数，然后用隐函数求导方法得出导数。对数求导法主要用于：①　幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数利用幂指函数常用的