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《2.4 参数式函数导数 微分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第二章第四节(2)导数与微分由参数方程确定的函数的导数相关变化率主要内容一、由参数方程确定的函数的导数二、相关变化率暨南大学电气信息学院苏保河主讲一、由参数方程确定的函数的导数1一阶导数⎧x=x(t)定理1若参数方程⎨确定了y是x的函数,⎩y=y(t)dyy'(t)且x(t),y(t)可导,x'(t)≠0,则=.dxx'(t)dydydtdy1y'(t)证：=⋅=⋅=.dxdtdxdtdxx'(t)dt暨南大学电气信息学院苏保河主讲⎧x=acostπ例1求曲线⎨在t=处的切线方程.⎩y=bsint4dyy't()btbcos解:===−cot,tdxx't()−atasind
2、yb22=−,x=a,y=b,t=π4t=π4dxt=π4a2222b⎛⎞所求切线方程为:y−=bxa−−⎜⎟.22a⎝⎠暨南大学电气信息学院苏保河主讲x=v1t例2.抛射体运动轨迹的参数方程为y=vt−1gt222求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.解:先求抛物体速度大小:dxdy速度的水平分量为=v1,垂直分量为=v2−gt,dtdtddx22y22故速度大小v=+()()=+−vvg12()t.ddtt再求速度方向(即轨迹的切线方向):yαdydydtvg2−t切线斜率tanα===.oxdxdxv1dt暨南大学电气信息学院苏保河主讲⎧x=3t2+2tdy例3.设⎨
3、,求.ydx⎩esint−y+1=0t=0解：方程组两边同时对t求导,得dx=6t+2dtydyydye⋅⋅sint+ecost−=0dtdtydxdyecost=6t+2,=dtdty1−esintdyydydtecoste∴===dxdxeytt2t=0dtt=0(1−sin)(6+2)t=0暨南大学电气信息学院苏保河主讲注极坐标y例螺线r=θ(x,y)yrθxx⎧r=x2+y2⎪x=rcosθ⎨yarctany=rsinθ⎪θ=⎩x暨南大学电气信息学院苏保河主讲π例4.求螺线r=θ在对应于θ=的点处的切线方程.2x=rcosθ=θcosθ解:化为参数方程y=rsinθ=
4、θsinθdydydθsinθ+θcosθ==dxdxcosθ−θsinθdθdy2斜率k==−πdxπθ=2ππ当时θ=对应点M(0,),222π切线方程为y=−x+.π2暨南大学电气信息学院苏保河主讲2高阶导数⎧x=x(t)若参数方程⎨确定了y是x的函数,且x(t)⎩y=y(t)和y(t)二阶可导,x'(t)≠0,则2y't'dyd(d⎛⎞dyy't)d(⎛⎞y't)dt⎛⎞()12=(⎜⎟)=⎜⎟⋅=⋅⎜⎟dxd(dxx'tx⎝⎠dx)d(tx't⎝⎠)dx⎝⎠x't()tx't()y''(t)x'(t)−y'(t)x''(t)1=⋅2x't()x'(t)y''(t)x
5、'(t)−y'(t)x''(t)=3x'(t)暨南大学电气信息学院苏保河主讲2′dyψ′(t)dy⎛ψ′(t)⎞注意:已知=,2×=⎜⎟?dxϕ′(t)dx⎝ϕ′(t)⎠2x=f′(t)dy例5.设,且f′′(t)≠0,求.y=tf′(t)−f(t)dx2d(yy't)f'(t)+tf′′(t)−f'(t)解:===t,d(xx't)f′′(t)2dy11=(t)'⋅=.dx2x't()f''t()暨南大学电气信息学院苏保河主讲二、相关变化率如果x==xtyyt(),()为两可导函数,并且xy,之间有联系ddxy,之间也有联系,称为相关变化率.ddtt相关变化率问题解法:找出
6、相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的变化率暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1.气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为140m/min,试求当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升t分后其高度为h,h仰角为α,则tanα=h500两边对t求导α2dα1dh500secα⋅=dt500dt22secα=1tan+αdh2由=140mmin,h=500m时tanα=1,secα=2,dtdα11得仰角增加率=⋅⋅140=0.14(rad/min).dth=5002500暨南大学电气信息学院苏保河主讲第二章第五节导数与微分
7、函数的微分主要内容一、微分的概念二、微分的计算三、微分运算法则暨南大学电气信息学院苏保河主讲一、微分的概念定义:若函数y=f(x)在点x0的增量可表示为Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=AΔx+o(Δx)(A为不依赖于△x的常数)则称函数y=f(x)在点x0可微,而称AΔx为f(x)在点x0的微分,记作dy或df,即dy=AΔx.暨南大学电气信息学院苏保河主讲定理函数y=f(x)在点x0可微的充要条件是y=f(x)在点x0处可导,且A=f′(x0).证:“⇒”:已知y=f(x)在点x0可微,则Δy=f
