Green公式及拓展

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1、Green第一第二第三公式的证明1.1Green第一公式证明Green第一公式：S∂u∂x2+∂u∂y2dxdy=-su∆udxdy+cu∂u∂nds证明：不妨设n=cosθ,sinθ;由方向导数的定义有：∂u∂n=∂u∂xcosθ+∂u∂ysinθ可知有cosθ=dydx2+dy2；sinθ=-dxdx2+dy2；ds=dx2+dy2；故有cu∂u∂nds=cu∂u∂xdydx2+dy2+∂u∂ydydx2+dy2dx2+dy2=cu∂u∂xdy-u∂u∂ydx由Green公式D∂Q∂x-∂P∂ydx

2、dy=∂DPdx+Qdy；得cu∂u∂xdy-u∂u∂ydx=S∂∂xu∂u∂x-∂∂y-u∂u∂ydxdy=S∂∂xu∂u∂x+∂∂yu∂u∂ydxdy=S∂∂x∂u∂xu+∂u∂x2+∂∂y∂u∂yu+∂u∂y2dxdy=S∂u∂x2+∂u∂y2dxdy+S∂∂x∂u∂xu+∂∂y∂u∂yudxdy=S∂u∂x2+∂u∂y2dxdy+Su∂∂x∂u∂x+∂∂y∂u∂ydxdy=S∂u∂x2+∂u∂y2dxdy+Su∆udxdy即有cu∂u∂nds=S∂u∂x2+∂u∂y2dxdy+Su∆udxdy移

3、项可得原式，得证。1.1Green第二公式证明Green第二公式：S∆u∆vuvdxdy=C∂u∂n∂v∂nuvds证明：等式左边展开：S∆u∆vuvdxdy=Sv∆u-u∆vdxdy=Sv∆u-u∆vdxdy右边C∂u∂n∂v∂nuvds=C(∂u∂nv-∂v∂nu)ds=Cv∂u∂xdydx2+dy2-v∂u∂ydxdx2+dy2-u∂v∂xdydx2+dy2+u∂v∂ydxdx2+dy2dx2+dy2=Cv∂u∂xdy-v∂u∂ydx-u∂v∂xdy+u∂v∂ydx=Cu∂v∂y-v∂u∂ydx+

4、v∂u∂x-u∂v∂xdy有Green公式有D∂Q∂x-∂P∂ydxdy=∂DPdx+Qdy；有P=u∂v∂y-v∂u∂yQ=v∂u∂x-u∂v∂x∂Q∂x=∂v∂u∂x-u∂v∂x∂x=∂v∂x∂u∂x+v∂2u∂x2-∂v∂x∂u∂x-u∂2v∂x2=v∂2u∂x2-u∂2v∂x2同理∂P∂x=u∂2v∂y2-v∂2u∂y2故有D∂Q∂x-∂P∂ydxdy=Dv∂2u∂x2-u∂2v∂x2-u∂2v∂y2+v∂2u∂y2dxdy=Dv∆u-u∆vdxdy=S∆u∆vuvdxdy1.1Green第三公

5、式证明Green第三公式：若u为有界闭区域S中的调和函数，则有：ux,y=12πCu∂lnr∂n-lnr∂u∂nds其中C为S边界，∂u∂n为u沿着C的外法线方向的方向导数；r=ξ-x2+η-y2；为（x，y）到边界C上动点（ξ，η）的距离；证明：由Green第二公式得到Cu∂lnr∂n-lnr∂u∂nds=Dv∆u-u∆vdxdy由于u为有界闭区域S中的调和函数，∆u=0∆v=∆lnr=∆lnξ-x2+η-y2=0可知lnr也是调和函数；故有在没有奇点的情况下，S内的任何区域Cu∂lnr∂n-lnr∂

6、u∂nds=Du∆v-v∆udxdy=0故有设以x，y为中心，t为半径的一个领域D，Cu∂lnr∂n-lnr∂u∂nds=∂Du∂lnr∂n-lnr∂u∂nds有在∂D上，∂Dlnr∂u∂nds=lnt∂D∂u∂nds=lntD∆uds=0∂Du∂lnr∂nds=∂Du∂lnr∂rds=∂Du1tds=1t∂Duds=2πuξ1，η1故由u在S上的连续性得到limt→0Cu∂lnr∂n-lnr∂u∂nds=lim⁡t→02πuξ1，η1=2πux，y故得证ux,y=12πCu∂lnr∂n-lnr∂u∂n

7、ds第二十二章各种积分间的联系与场论初步下面的图表给出了各种积分间的联系，在计算中可以根据这些关系，将一种积分转化为另一种积分。第一型曲线积分二重积分第二型曲线积分格林公式斯托克司公式三重积分第一型曲面积分积分第二型曲面积分面积分高斯公式例1设为平面上封闭曲线，为平面上任意方向，是的外法线方向。证明yx证明，因为，则，注1此例给出了平面上闭曲线切线正向和外法线矢量的关系：（这个结果在7、8、12题都要用到），注2利用这个关系，可得格林公式的另一种形式：或（用外法向矢量）试比较（用正向的切线矢量）事实上注

8、3我们已经知道，格林公式是斯托克司公式当是平行于坐标面的平面曲线时的特殊情形。而从格林公式的上述形式可以看出，格林公式也可作为高斯公式的特殊情形。在高斯公式中，设不依赖于。考虑平行于轴的单位高柱体的边界曲面的外侧，它在面的投影为曲线。记柱面的上底面为，下底面为，侧面为，则又即例2设具有二阶连续偏导数，证明（1）（2）其中，为闭曲线所围的平面区域，为沿外法线方向的导数。证（1）在格林公式的等价形式中令得，即（2）注4在式中令，则（2）即化为（